Решение задачи нагрева тела (Вариант 11)

Для выполнения лабораторной работы №8 по теме «Численный расчет процесса нагрева твердого тела» для варианта №11, запишем исходные данные и проведем расчет. Исходные данные (Вариант №11): \(P = 55\) (мощность нагрева); \(C = 5\) (теплоемкость); \(K = 1\) (коэффициент теплоотдачи); \(dt = 3\) (шаг по времени); \(T_0 = 15\) (начальная температура). 1. Аналитическое решение. Процесс нагрева описывается дифференциальным уравнением: \[ C \frac{dT}{dt} = P - K \cdot T \] Общее решение данного уравнения имеет вид: \[ T(t) = \frac{P}{K} + \left( T_0 - \frac{P}{K} \right) \cdot e^{-\frac{K}{C}t} \] Подставим наши значения: \[ \frac{P}{K} = \frac{55}{1} = 55 \] \[ T(t) = 55 + (15 - 55) \cdot e^{-\frac{1}{5}t} = 55 - 40 \cdot e^{-0,2t} \] 2. Численное решение (метод Эйлера). Для численного расчета используем рекуррентную формулу: \[ T_{i+1} = T_i + \frac{P - K \cdot T_i}{C} \cdot dt \] Подставим значения для нашего шага \(dt = 3\): \[ T_{i+1} = T_i + \frac{55 - 1 \cdot T_i}{5} \cdot 3 = T_i + 0,6 \cdot (55 - T_i) \] Рассчитаем первые несколько шагов: Шаг 0 (\(t = 0\)): \(T_0 = 15\) Шаг 1 (\(t = 3\)): Численное: \(T_1 = 15 + 0,6 \cdot (55 - 15) = 15 + 24 = 39\) Аналитическое: \(T(3) = 55 - 40 \cdot e^{-0,2 \cdot 3} = 55 - 40 \cdot 0,5488 \approx 33,05\) Шаг 2 (\(t = 6\)): Численное: \(T_2 = 39 + 0,6 \cdot (55 - 39) = 39 + 9,6 = 48,6\) Аналитическое: \(T(6) = 55 - 40 \cdot e^{-1,2} = 55 - 40 \cdot 0,3012 \approx 42,95\) Шаг 3 (\(t = 9\)): Численное: \(T_3 = 48,6 + 0,6 \cdot (55 - 48,6) = 48,6 + 3,84 = 52,44\) Аналитическое: \(T(9) = 55 - 40 \cdot e^{-1,8} = 55 - 40 \cdot 0,1653 \approx 48,39\) Шаг 4 (\(t = 12\)): Численное: \(T_4 = 52,44 + 0,6 \cdot (55 - 52,44) = 52,44 + 1,536 = 53,976\) Аналитическое: \(T(12) = 55 - 40 \cdot e^{-2,4} = 55 - 40 \cdot 0,0907 \approx 51,37\) Вывод: С течением времени температура тела стремится к установившемуся значению \(T_{max} = P/K = 55\). Численный метод Эйлера при данном шаге \(dt\) дает заметную погрешность в начале процесса, но верно отражает общую динамику нагрева. Для повышения точности в инженерных расчетах, проводимых в отечественной науке, рекомендуется уменьшать шаг интегрирования.