Решение Задачи Вариант 24: Статистический Анализ

Решение задачи Варианта 24. Для статистических данных \(X\) и \(Y\) обычно требуется найти основные характеристики: средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции, чтобы понять связь между величинами. 1. Найдем средние арифметические значения \(\bar{X}\) и \(\bar{Y}\). Количество измерений \(n = 10\). \[ \bar{X} = \frac{13,2 + 11,9 + 11,9 + 13,4 + 13,4 + 13,3 + 11,9 + 12,1 + 12,6 + 13,9}{10} = \frac{127,6}{10} = 12,76 \] \[ \bar{Y} = \frac{10,7 + 12,3 + 10,6 + 10,4 + 10,6 + 11,0 + 11,0 + 10,8 + 10,8 + 10,6}{10} = \frac{108,8}{10} = 10,88 \] 2. Рассчитаем выборочные дисперсии \(S^2\) и средние квадратические отклонения \(S\). Для \(X\): \[ S_x^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{X})^2}{n} \] \[ S_x^2 = \frac{(13,2-12,76)^2 + (11,9-12,76)^2 + ... + (13,9-12,76)^2}{10} \] \[ S_x^2 = \frac{0,1936 + 0,7396 + 0,7396 + 0,4096 + 0,4096 + 0,2916 + 0,7396 + 0,4356 + 0,0256 + 1,2996}{10} = \frac{5,284}{10} = 0,5284 \] \[ S_x = \sqrt{0,5284} \approx 0,727 \] Для \(Y\): \[ S_y^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{Y})^2}{n} \] \[ S_y^2 = \frac{(10,7-10,88)^2 + (12,3-10,88)^2 + ... + (10,6-10,88)^2}{10} \] \[ S_y^2 = \frac{0,0324 + 2,0164 + 0,0784 + 0,2304 + 0,0784 + 0,0144 + 0,0144 + 0,0064 + 0,0064 + 0,0784}{10} = \frac{2,556}{10} = 0,2556 \] \[ S_y = \sqrt{0,2556} \approx 0,506 \] 3. Найдем ковариацию \(cov(X, Y)\) и коэффициент корреляции \(r_{xy}\). \[ cov(X, Y) = \frac{\sum (x_i \cdot y_i)}{n} - \bar{X} \cdot \bar{Y} \] Сумма произведений: \[ \sum (x_i \cdot y_i) = 13,2 \cdot 10,7 + 11,9 \cdot 12,3 + ... + 13,9 \cdot 10,6 = 141,24 + 146,37 + 126,14 + 139,36 + 142,04 + 146,3 + 130,9 + 130,68 + 136,08 + 147,34 = 1386,45 \] \[ cov(X, Y) = \frac{1386,45}{10} - 12,76 \cdot 10,88 = 138,645 - 138,8288 = -0,1838 \] Коэффициент корреляции Пирсона: \[ r_{xy} = \frac{cov(X, Y)}{S_x \cdot S_y} = \frac{-0,1838}{0,727 \cdot 0,506} \approx \frac{-0,1838}{0,3678} \approx -0,5 \] Ответ: Среднее значение \(X = 12,76\); Среднее значение \(Y = 10,88\); Коэффициент корреляции \(r_{xy} \approx -0,5\). Это говорит об умеренной обратной линейной связи между показателями.