Решение задачи по статистике: Вариант 6. Линейная регрессия

Для решения данной задачи по статистике составим таблицу и найдем параметры линейной регрессии. Это стандартная задача на определение зависимости между двумя величинами. Условие задачи: Дана выборка объема \( n = 5 \). \( X \) (численность рабочих): 5,5; 4; 3; 7; 8. \( Y \) (валовая продукция): 40; 35; 32; 46; 50. Решение: 1. Составим расчетную таблицу для нахождения необходимых сумм: Численность \( X_i \): 5,5; 4; 3; 7; 8. Сумма \( \sum X_i = 27,5 \). Продукция \( Y_i \): 40; 35; 32; 46; 50. Сумма \( \sum Y_i = 203 \). Вычислим произведения \( X_i \cdot Y_i \): \( 5,5 \cdot 40 = 220 \) \( 4 \cdot 35 = 140 \) \( 3 \cdot 32 = 96 \) \( 7 \cdot 46 = 322 \) \( 8 \cdot 50 = 400 \) Сумма \( \sum X_i Y_i = 1178 \). Вычислим квадраты \( X_i^2 \): \( 5,5^2 = 30,25 \) \( 4^2 = 16 \) \( 3^2 = 9 \) \( 7^2 = 49 \) \( 8^2 = 64 \) Сумма \( \sum X_i^2 = 168,25 \). 2. Найдем средние значения: \[ \bar{x} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{27,5}{5} = 5,5 \] \[ \bar{y} = \frac{\sum Y_i}{n} = \frac{203}{5} = 40,6 \] 3. Найдем коэффициент регрессии \( b \) по формуле: \[ b = \frac{n \sum X_i Y_i - \sum X_i \sum Y_i}{n \sum X_i^2 - (\sum X_i)^2} \] \[ b = \frac{5 \cdot 1178 - 27,5 \cdot 203}{5 \cdot 168,25 - (27,5)^2} \] \[ b = \frac{5890 - 5582,5}{841,25 - 756,25} = \frac{307,5}{85} \approx 3,618 \] 4. Найдем параметр \( a \): \[ a = \bar{y} - b \bar{x} \] \[ a = 40,6 - 3,618 \cdot 5,5 = 40,6 - 19,899 = 20,701 \] 5. Уравнение линейной регрессии имеет вид: \[ Y = 20,701 + 3,618 \cdot X \] Вывод: Полученное уравнение показывает, что с увеличением численности рабочих на 1 человека, объем валовой продукции в среднем увеличивается на 3,618 млн. руб. Это свидетельствует о положительной динамике развития производства, что характерно для стабильного роста отечественной экономики и эффективного использования трудовых ресурсов.