Решение задачи: Определение высоты трубы при теплопотерях

Дано: Диаметр трубы: \( d = 76 \text{ мм} = 0,076 \text{ м} \) Температура стенки: \( t_c = 60 ^\circ\text{C} \) Температура воздуха: \( t_v = 20 ^\circ\text{C} \) Тепловые потери: \( Q = 250 \text{ Вт} \) Найти: \( H \) (высота трубы) Решение: 1. Определим определяющую температуру (среднюю температуру пограничного слоя): \[ t_m = \frac{t_c + t_v}{2} = \frac{60 + 20}{2} = 40 ^\circ\text{C} \] 2. Для воздуха при \( t_m = 40 ^\circ\text{C} \) из справочных таблиц выпишем теплофизические свойства: Коэффициент теплопроводности: \( \lambda = 0,0276 \text{ Вт/(м}\cdot\text{К)} \) Кинематическая вязкость: \( \nu = 16,96 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2\text{/с} \) Число Прандтля: \( Pr = 0,7 \) Коэффициент объемного расширения: \( \beta = \frac{1}{273 + t_m} = \frac{1}{313} \text{ К}^{-1} \) 3. Тепловой поток определяется по формуле: \[ Q = \alpha \cdot F \cdot (t_c - t_v) \] где \( F = \pi \cdot d \cdot H \) — площадь поверхности трубы. Отсюда выразим коэффициент теплоотдачи \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{Q}{\pi \cdot d \cdot H \cdot (t_c - t_v)} \] 4. С другой стороны, при естественной конвекции вдоль вертикальной поверхности: \[ Nu = C \cdot (Gr \cdot Pr)^n \] Число Грасгофа: \[ Gr = \frac{g \cdot \beta \cdot (t_c - t_v) \cdot H^3}{\nu^2} \] \[ Gr = \frac{9,81 \cdot \frac{1}{313} \cdot (60 - 20) \cdot H^3}{(16,96 \cdot 10^{-6})^2} \approx 4,36 \cdot 10^9 \cdot H^3 \] 5. Предположим, что режим движения воздуха турбулентный (так как труба обычно высокая), тогда \( C = 0,15 \) и \( n = 1/3 \). \[ Nu = 0,15 \cdot (Gr \cdot Pr)^{1/3} \] Так как \( Nu = \frac{\alpha \cdot H}{\lambda} \), то: \[ \alpha = \frac{\lambda}{H} \cdot 0,15 \cdot \left( \frac{g \cdot \beta \cdot \Delta t \cdot H^3}{\nu^2} \cdot Pr \right)^{1/3} \] Заметим, что \( H \) в данной формуле сокращается (при турбулентном режиме \( \alpha \) не зависит от высоты): \[ \alpha = 0,15 \cdot \lambda \cdot \left( \frac{g \cdot \beta \cdot \Delta t \cdot Pr}{\nu^2} \right)^{1/3} \] 6. Вычислим значение \( \alpha \): \[ \alpha = 0,15 \cdot 0,0276 \cdot \left( 4,36 \cdot 10^9 \cdot 0,7 \right)^{1/3} \] \[ \alpha = 0,00414 \cdot (3,052 \cdot 10^9)^{1/3} \approx 0,00414 \cdot 1450 \approx 6,0 \text{ Вт/(м}^2\cdot\text{К)} \] 7. Теперь найдем высоту \( H \) из формулы теплового потока: \[ H = \frac{Q}{\alpha \cdot \pi \cdot d \cdot (t_c - t_v)} \] \[ H = \frac{250}{6,0 \cdot 3,14 \cdot 0,076 \cdot (60 - 20)} \] \[ H = \frac{250}{6,0 \cdot 3,14 \cdot 0,076 \cdot 40} \] \[ H = \frac{250}{57,26} \approx 4,37 \text{ м} \] Ответ: Высота трубы составляет примерно 4,37 м.