Решение задач по ТАУ: Ответы на вопросы к экзамену

Ниже представлены краткие и структурированные ответы на экзаменационные вопросы по теории автоматического управления (ТАУ), подготовленные для переписывания в тетрадь. 1. Классификация систем автоматического управления (САУ) САУ классифицируются по следующим признакам: 1. По принципу управления: разомкнутые, замкнутые (по отклонению), комбинированные. 2. По характеру сигналов: непрерывные и дискретные (цифровые). 3. По виду уравнений: линейные и нелинейные. 4. По цели управления: системы стабилизации, программного управления, следящие системы. 2. Принципы линеаризации САУ Линеаризация — это замена нелинейного уравнения приближенным линейным в окрестности точки установившегося режима. Используется разложение функции в ряд Тейлора, где отбрасываются члены высших порядков: \[ y \approx y_0 + \left. \frac{df}{dx} \right|_{x_0} (x - x_0) \] Линеаризация справедлива только для малых отклонений от рабочей точки. 3. Дифференциальные и операторные уравнения. Преобразование Лапласа Динамика систем описывается дифференциальными уравнениями: \[ a_n \frac{d^n y}{dt^n} + \dots + a_0 y = b_m \frac{d^m x}{dt^m} + \dots + b_0 x \] Преобразование Лапласа позволяет перейти от функций времени \( f(t) \) к функциям комплексного переменного \( F(s) \): \[ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt \] Основные свойства: 1. Линейность. 2. Дифференцирование оригинала: \( \frac{df(t)}{dt} \to sF(s) - f(0) \). 3. Интегрирование оригинала: \( \int f(t)dt \to \frac{F(s)}{s} \). 4. Передаточные функции САУ Передаточная функция \( W(s) \) — это отношение изображения Лапласа выходного сигнала к изображению входного при нулевых начальных условиях: \[ W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_m s^m + \dots + b_0}{a_n s^n + \dots + a_0} \] 5. Временные характеристики САУ 1. Переходная функция \( h(t) \) — реакция системы на единичное ступенчатое воздействие \( 1(t) \). 2. Импульсная переходная функция \( w(t) \) (весовая функция) — реакция на дельта-функцию \( \delta(t) \). Связь между ними: \( w(t) = \frac{dh(t)}{dt} \). 6. Частотные характеристики САУ Получаются заменой \( s = j\omega \) в передаточной функции: \[ W(j\omega) = A(\omega) e^{j\phi(\omega)} = U(\omega) + jV(\omega) \] 1. АФЧХ — амплитудно-фазовая частотная характеристика (годограф). 2. АЧХ \( A(\omega) \) — зависимость усиления от частоты. 3. ФЧХ \( \phi(\omega) \) — зависимость сдвига фазы от частоты. 4. ЛАЧХ \( L(\omega) = 20 \lg A(\omega) \) (измеряется в децибелах). 7. Характеристики пропорционального (П) звена Уравнение: \( y(t) = k \cdot x(t) \). Передаточная функция: \( W(s) = k \). Звено передает сигнал мгновенно без искажения формы. 8. Характеристики идеального дифференцирующего звена Уравнение: \( y(t) = k \frac{dx(t)}{dt} \). Передаточная функция: \( W(s) = ks \). АЧХ: \( A(\omega) = k\omega \). ФЧХ: \( \phi(\omega) = 90^\circ \). 9. Характеристики апериодического звена 1-го порядка Уравнение: \( T \frac{dy}{dt} + y = kx \). Передаточная функция: \( W(s) = \frac{k}{Ts + 1} \). Переходный процесс — экспонента. 10. Характеристики реального дифференцирующего звена Передаточная функция: \( W(s) = \frac{ks}{Ts + 1} \). В отличие от идеального, имеет инерционность, что позволяет физически реализовать такое устройство. 11. Характеристики инерционного звена 2-го порядка Передаточная функция: \( W(s) = \frac{k}{T^2 s^2 + 2\xi Ts + 1} \). При \( \xi < 1 \) процесс носит колебательный характер, при \( \xi \ge 1 \) — апериодический. 12. Характеристики звена чистого запаздывания Уравнение: \( y(t) = x(t - \tau) \). Передаточная функция: \( W(s) = e^{-\tau s} \). АЧХ: \( A(\omega) = 1 \). ФЧХ: \( \phi(\omega) = -\omega\tau \). 13. Характеристики интегро-дифференцирующего звена Передаточная функция: \( W(s) = k \frac{T_1 s + 1}{T_2 s + 1} \). Используется для коррекции фазы в системе. 14. Характеристики пропорционально-интегрирующего (ПИ) звена Передаточная функция: \( W(s) = k \left( 1 + \frac{1}{T_i s} \right) \). Обеспечивает нулевую статическую ошибку. 15. Эквивалентные преобразования структурных схем 1. Последовательное соединение: \( W_{экв} = W_1 \cdot W_2 \). 2. Параллельное соединение: \( W_{экв} = W_1 + W_2 \). 3. Соединение с обратной связью: \( W_{экв} = \frac{W_{пр}}{1 \pm W_{пр}W_{ос}} \). 16. Понятие устойчивости САУ Система устойчива, если она возвращается в состояние равновесия после снятия возмущения. Необходимое условие: все коэффициенты характеристического уравнения \( a_n s^n + \dots + a_0 = 0 \) должны быть положительны. Достаточное условие: все корни уравнения должны иметь отрицательные вещественные части. 17. Алгебраический критерий Гурвица Составляется определитель из коэффициентов характеристического уравнения. Система устойчива, если все главные диагональные миноры определителя Гурвица положительны. 18. Частотный критерий Михайлова Строится годограф \( D(j\omega) \). Система устойчива, если годограф при изменении частоты от 0 до \( \infty \) проходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) \( n \) квадрантов, где \( n \) — степень уравнения. 19. Частотный критерий Найквиста Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы \( W_{раз}(j\omega) \). Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой необходимо, чтобы годограф \( W_{раз}(j\omega) \) не охватывал точку с координатами \( (-1; j0) \). 22. Частотные критерии качества К ним относятся: 1. Запас устойчивости по амплитуде и фазе. 2. Показатель колебательности \( M \) (максимум АЧХ замкнутой системы). 3. Полоса пропускания. 28. Типы корректирующих звеньев 1. Последовательные (включаются в основной контур). 2. Параллельные (обратные связи). 3. Местные обратные связи. 29. Частотный метод синтеза корректирующих устройств Основан на построении желаемой ЛАЧХ. Путем сравнения ЛАЧХ исходной системы и желаемой ЛАЧХ определяется передаточная функция корректирующего звена: \[ L_{кор} = L_{жел} - L_{исх} \] 33. Особенности нелинейных систем 1. Неприменим принцип суперпозиции. 2. Наличие автоколебаний. 3. Зависимость устойчивости от величины входного сигнала. Методы анализа: метод фазовой плоскости, метод гармонической линеаризации. 34. Исследование нелинейных систем на фазовой плоскости Метод применяется для систем 2-го порядка. Строится график зависимости скорости изменения координаты от самой координаты \( \frac{dx}{dt} = f(x) \). Особые точки (узел, фокус, центр, седло) определяют характер движения. 35. Метод гармонической линеаризации Основан на предположении, что на вход нелинейного элемента поступает гармонический сигнал, а высшие гармоники на выходе подавляются линейной частью системы (свойство фильтра). Нелинейный элемент заменяется комплексным коэффициентом усиления \( q(A) \). 36. Методы определения параметров автоколебаний Автоколебания определяются по точке пересечения годографа линейной части \( W(j\omega) \) и инверсной характеристики нелинейного элемента \( -\frac{1}{q(A)} \). Точка пересечения дает частоту \( \omega \) и амплитуду \( A \) автоколебаний.