Решение задач по геометрии 7 класс: Все кроме 1

Ниже представлены решения задач со 2-й по 6-ю, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача №2. Дано: \(k \parallel m\), \(p\) — секущая, \(\angle 3 + \angle 4 = 116^\circ\). Найти: все образовавшиеся углы. Решение: 1) Углы \(\angle 3\) и \(\angle 4\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(k\) и \(m\) и секущей \(p\). По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: \(\angle 3 = \angle 4\). 2) Так как \(\angle 3 + \angle 4 = 116^\circ\), то \(\angle 3 = \angle 4 = 116^\circ : 2 = 58^\circ\). 3) Углы, вертикальные с ними, также равны \(58^\circ\). 4) Углы, смежные с данными, равны: \(180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\). Таких углов четыре (две пары вертикальных). Ответ: четыре угла по \(58^\circ\) и четыре угла по \(122^\circ\). Задача №3. Дано: \(c \parallel a\), \(n\) — секущая, \(\angle 2 : \angle 3 = 4 : 6\). Найти: \(\angle 2\) и \(\angle 3\). Решение: 1) По рисунку углы \(\angle 2\) и \(\angle 3\) являются односторонними при параллельных прямых \(c\) и \(a\) и секущей \(n\). По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов равна \(180^\circ\): \(\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\). 2) Пусть одна часть равна \(x\). Тогда \(\angle 2 = 4x\), а \(\angle 3 = 6x\). 3) Составим уравнение: \[4x + 6x = 180\] \[10x = 180\] \[x = 18^\circ\] 4) Найдем углы: \(\angle 2 = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ\) \(\angle 3 = 6 \cdot 18^\circ = 108^\circ\) Ответ: \(72^\circ\), \(108^\circ\). Задача №4. Дано: \(\triangle NMK\), \(\angle N = 29^\circ\), \(\angle MKD\) — внешний, смежный с \(\angle NKM\), равен \(58^\circ\). Биссектриса угла \(MKD\) — \(KL\). Доказать: \(KL \parallel NM\). Доказательство: 1) Так как \(KL\) — биссектриса внешнего угла \(\angle MKD\), то \(\angle MKL = \angle LKD = 58^\circ : 2 = 29^\circ\). 2) Рассмотрим прямые \(KL\) и \(NM\) и секущую \(ND\). Углы \(\angle LKD\) и \(\angle N\) являются соответственными. 3) Так как \(\angle LKD = 29^\circ\) и \(\angle N = 29^\circ\), то соответственные углы равны. 4) По признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, \(KL \parallel NM\). Что и требовалось доказать. Задача №5. Дано: \(PR \cap QS = O\), \(O\) — середина \(PR\) и \(QS\). Доказать: \(PQ \parallel RS\). Доказательство: 1) Рассмотрим \(\triangle POQ\) и \(\triangle ROS\). 2) \(PO = OR\) (так как \(O\) — середина \(PR\)). 3) \(QO = OS\) (так как \(O\) — середина \(QS\)). 4) \(\angle POQ = \angle ROS\) как вертикальные. 5) Следовательно, \(\triangle POQ = \triangle ROS\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 6) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle OPQ = \angle ORS\). 7) Эти углы являются накрест лежащими при прямых \(PQ\) и \(RS\) и секущей \(PR\). 8) Так как накрест лежащие углы равны, то \(PQ \parallel RS\) по признаку параллельности. Что и требовалось доказать. Задача №6. Дано: \(a \parallel b\), \(c\) — секущая. Разность односторонних углов равна \(66^\circ\). Найти: эти углы. Решение: 1) Пусть один из односторонних углов равен \(x\), тогда второй равен \(x + 66^\circ\). 2) Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна \(180^\circ\). 3) Составим уравнение: \[x + (x + 66) = 180\] \[2x = 180 - 66\] \[2x = 114\] \[x = 57^\circ\] 4) Второй угол равен: \(57^\circ + 66^\circ = 123^\circ\). Ответ: \(57^\circ\), \(123^\circ\).