Решение систем уравнений №573-580

Ниже представлено подробное решение всех систем уравнений с изображения (№ 573–580), оформленное для удобного переписывания в тетрадь. № 573. \[ \begin{cases} x^2 + 2y = 12 \\ 2x - y = 10 \end{cases} \] Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = 2x - 10\). Подставим в первое: \[ x^2 + 2(2x - 10) = 12 \] \[ x^2 + 4x - 20 - 12 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 32 = 0 \] По теореме Виета: \(x_1 = -8\), \(x_2 = 4\). Находим \(y\): Если \(x_1 = -8\), то \(y_1 = 2(-8) - 10 = -26\). Если \(x_2 = 4\), то \(y_2 = 2(4) - 10 = -2\). Ответ: (-8; -26), (4; -2). № 574. \[ \begin{cases} x - 2y = 2 \\ 3x - y^2 = 11 \end{cases} \] Выразим \(x\): \(x = 2 + 2y\). Подставим во второе: \[ 3(2 + 2y) - y^2 = 11 \] \[ 6 + 6y - y^2 - 11 = 0 \] \[ -y^2 + 6y - 5 = 0 \] \[ y^2 - 6y + 5 = 0 \] Корни: \(y_1 = 1\), \(y_2 = 5\). Находим \(x\): Если \(y_1 = 1\), то \(x_1 = 2 + 2(1) = 4\). Если \(y_2 = 5\), то \(x_2 = 2 + 2(5) = 12\). Ответ: (4; 1), (12; 5). № 575. \[ \begin{cases} x + y = -2 \\ y^2 - 3x = 6 \end{cases} \] Выразим \(x\): \(x = -2 - y\). Подставим во второе: \[ y^2 - 3(-2 - y) = 6 \] \[ y^2 + 6 + 3y = 6 \] \[ y^2 + 3y = 0 \] \[ y(y + 3) = 0 \] \(y_1 = 0\), \(y_2 = -3\). Находим \(x\): Если \(y_1 = 0\), то \(x_1 = -2 - 0 = -2\). Если \(y_2 = -3\), то \(x_2 = -2 - (-3) = 1\). Ответ: (-2; 0), (1; -3). № 576. \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 - 3y = -15 \end{cases} \] Выразим \(y\): \(y = 5 - x\). Подставим во второе: \[ x^2 - 3(5 - x) = -15 \] \[ x^2 - 15 + 3x + 15 = 0 \] \[ x^2 + 3x = 0 \] \[ x(x + 3) = 0 \] \(x_1 = 0\), \(x_2 = -3\). Находим \(y\): Если \(x_1 = 0\), то \(y_1 = 5 - 0 = 5\). Если \(x_2 = -3\), то \(y_2 = 5 - (-3) = 8\). Ответ: (0; 5), (-3; 8). № 577. \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ y - x = 3 \end{cases} \] Выразим \(y\): \(y = x + 3\). Подставим в первое: \[ x^2 + (x + 3)^2 = 17 \] \[ x^2 + x^2 + 6x + 9 - 17 = 0 \] \[ 2x^2 + 6x - 8 = 0 \] \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -4\). Находим \(y\): Если \(x_1 = 1\), то \(y_1 = 1 + 3 = 4\). Если \(x_2 = -4\), то \(y_2 = -4 + 3 = -1\). Ответ: (1; 4), (-4; -1). № 578. \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x + y = 5 \end{cases} \] Выразим \(x\): \(x = 5 - y\). Подставим в первое: \[ (5 - y)^2 + y^2 = 13 \] \[ 25 - 10y + y^2 + y^2 - 13 = 0 \] \[ 2y^2 - 10y + 12 = 0 \] \[ y^2 - 5y + 6 = 0 \] Корни: \(y_1 = 2\), \(y_2 = 3\). Находим \(x\): Если \(y_1 = 2\), то \(x_1 = 5 - 2 = 3\). Если \(y_2 = 3\), то \(x_2 = 5 - 3 = 2\). Ответ: (3; 2), (2; 3). № 579. \[ \begin{cases} x - y = 1 \\ x - 4y^2 = 1 \end{cases} \] Выразим \(x\) из первого: \(x = y + 1\). Подставим во второе: \[ y + 1 - 4y^2 = 1 \] \[ y - 4y^2 = 0 \] \[ y(1 - 4y) = 0 \] \(y_1 = 0\), \(y_2 = 0,25\). Находим \(x\): Если \(y_1 = 0\), то \(x_1 = 0 + 1 = 1\). Если \(y_2 = 0,25\), то \(x_2 = 0,25 + 1 = 1,25\). Ответ: (1; 0), (1,25; 0,25). № 580. \[ \begin{cases} x + 2y^2 = 4 \\ x - y = 4 \end{cases} \] Выразим \(x\) из второго: \(x = y + 4\). Подставим в первое: \[ y + 4 + 2y^2 = 4 \] \[ 2y^2 + y = 0 \] \[ y(2y + 1) = 0 \] \(y_1 = 0\), \(y_2 = -0,5\). Находим \(x\): Если \(y_1 = 0\), то \(x_1 = 0 + 4 = 4\). Если \(y_2 = -0,5\), то \(x_2 = -0,5 + 4 = 3,5\). Ответ: (4; 0), (3,5; -0,5).