Вычисление собственных значений матрицы разложением по 3 строке

Для того чтобы вычислить собственные значения, разложим определитель характеристической матрицы по элементам третьей строки. Характеристическое уравнение: \[ \det(A - \lambda E) = \begin{vmatrix} 6-\lambda & 1 & -1 \\ 2 & 5-\lambda & -2 \\ 1 & -1 & 4-\lambda \end{vmatrix} = 0 \] Разложение по 3-й строке: \[ a_{31} \cdot A_{31} + a_{32} \cdot A_{32} + a_{33} \cdot A_{33} = 0 \] \[ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5-\lambda & -2 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 6-\lambda & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + (4-\lambda) \cdot \begin{vmatrix} 6-\lambda & 1 \\ 2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = 0 \] Вычисляем каждый минор: 1) \( \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 5-\lambda & -2 \end{vmatrix} = -2 - (-(5-\lambda)) = -2 + 5 - \lambda = 3 - \lambda \) 2) \( \begin{vmatrix} 6-\lambda & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -2(6-\lambda) - (-2) = -12 + 2\lambda + 2 = 2\lambda - 10 \) 3) \( \begin{vmatrix} 6-\lambda & 1 \\ 2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = (6-\lambda)(5-\lambda) - 2 = 30 - 6\lambda - 5\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 11\lambda + 28 \) Подставляем в уравнение: \[ (3-\lambda) + (2\lambda - 10) + (4-\lambda)(\lambda^2 - 11\lambda + 28) = 0 \] \[ \lambda - 7 + (4\lambda^2 - 44\lambda + 112 - \lambda^3 + 11\lambda^2 - 28\lambda) = 0 \] \[ \lambda - 7 - \lambda^3 + 15\lambda^2 - 72\lambda + 112 = 0 \] \[ -\lambda^3 + 15\lambda^2 - 71\lambda + 105 = 0 \] Умножим на \(-1\): \[ \lambda^3 - 15\lambda^2 + 71\lambda - 105 = 0 \] Проверим корень \( \lambda = 3 \): \[ 3^3 - 15(3^2) + 71(3) - 105 = 27 - 135 + 213 - 105 = 240 - 240 = 0 \] Значит, уравнение делится на \( (\lambda - 3) \): \[ (\lambda - 3)(\lambda^2 - 12\lambda + 35) = 0 \] \[ (\lambda - 3)(\lambda - 5)(\lambda - 7) = 0 \] Собственные значения: \[ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 5, \quad \lambda_3 = 7 \]