Решение кубического уравнения λ³ - 15λ² + 71λ - 105 = 0

Для того чтобы найти корни кубического уравнения \[ \lambda^3 - 15\lambda^2 + 71\lambda - 105 = 0 \] в школьном курсе математики обычно используют метод подбора целых корней среди делителей свободного члена. 1. Выпишем делители свободного члена \( -105 \): Это числа: \( \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 7, \pm 15, \dots \) 2. Проверим число \( \lambda = 3 \): Подставим его в уравнение: \[ 3^3 - 15 \cdot 3^2 + 71 \cdot 3 - 105 = 27 - 15 \cdot 9 + 213 - 105 = 27 - 135 + 213 - 105 \] Сложим положительные и отрицательные числа отдельно: \[ (27 + 213) + (-135 - 105) = 240 - 240 = 0 \] Так как результат равен нулю, то \( \lambda_1 = 3 \) является корнем уравнения. 3. Разделим многочлен на \( (\lambda - 3) \), чтобы понизить степень уравнения. Это удобно сделать "уголком" или по схеме Горнера: \[ \begin{array}{l|rrrr} & 1 & -15 & 71 & -105 \\ \hline 3 & 1 & -12 & 35 & 0 \end{array} \] Получаем квадратный трехчлен: \( \lambda^2 - 12\lambda + 35 \). 4. Решим квадратное уравнение \( \lambda^2 - 12\lambda + 35 = 0 \) через дискриминант или по теореме Виета: По теореме Виета: \[ \begin{cases} \lambda_2 + \lambda_3 = 12 \\ \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 35 \end{cases} \] Подбором находим: \[ \lambda_2 = 5, \quad \lambda_3 = 7 \] Таким образом, мы нашли все три корня: \[ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 5, \quad \lambda_3 = 7 \]