Решение Определенного Интеграла ∫(1 до 2) e^(1/x) / x^2 dx

Задание: Вычислить определенный интеграл. \[ I = \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx \] Решение: Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Заметим, что производная функции \( \frac{1}{x} \) равна \( -\frac{1}{x^2} \), что очень похоже на выражение под интегралом. Пусть \( t = \frac{1}{x} \). Тогда найдем дифференциал \( dt \): \[ dt = \left( \frac{1}{x} \right)' dx = -\frac{1}{x^2} dx \] Отсюда следует, что: \[ \frac{dx}{x^2} = -dt \] Теперь изменим пределы интегрирования для новой переменной \( t \): 1. Если \( x = 1 \), то \( t = \frac{1}{1} = 1 \). 2. Если \( x = 2 \), то \( t = \frac{1}{2} = 0,5 \). Подставим новые значения в интеграл: \[ I = \int_{1}^{0,5} e^t (-dt) \] Вынесем минус за знак интеграла и поменяем пределы интегрирования местами (при смене пределов знак интеграла меняется на противоположный): \[ I = \int_{0,5}^{1} e^t dt \] Вычисляем первообразную. Первообразная для \( e^t \) есть \( e^t \): \[ I = [e^t] \Big|_{0,5}^{1} \] Применяем формулу Ньютона-Лейбница: \[ I = e^1 - e^{0,5} \] \[ I = e - \sqrt{e} \] Ответ: \( e - \sqrt{e} \)