Построение изображения в собирающей линзе: решение задачи

Ниже представлено решение задачи по физике на построение изображения в собирающей линзе. Задача: Построением докажите, что если предмет находится от линзы на удалении, равном ее двойному фокусному расстоянию, то его изображение, даваемое этой линзой, находится от линзы на таком же расстоянии. Причем в этом случае изображение получается такого же размера, как и предмет. Решение: 1. Анализ условия: Дано: расстояние от предмета до линзы \( d = 2F \). Нужно доказать: расстояние от изображения до линзы \( f = 2F \) и высота изображения \( H \) равна высоте предмета \( h \). 2. Алгоритм построения (для тетради в клеточку): - Начертите главную оптическую ось (горизонтальная линия). - Начертите собирающую линзу (вертикальная линия со стрелками на концах, направленными наружу). - Отметьте фокусы \( F \) по обе стороны от линзы на одинаковом расстоянии (например, 2 клетки). - Отметьте двойные фокусы \( 2F \) (4 клетки от линзы). - Поставьте предмет \( AB \) (стрелку) вертикально в точке \( 2F \). Пусть его высота будет 2 клетки. 3. Ход лучей для построения: - Первый луч: пускаем от точки \( B \) параллельно главной оптической оси до линзы. После преломления он пройдет через задний фокус \( F \). - Второй луч: пускаем от точки \( B \) через оптический центр линзы (точку пересечения линзы и оси). Этот луч не преломляется. - Точка пересечения этих двух лучей даст нам точку \( B' \) (вершину изображения). 4. Результат построения: При правильном построении точка \( B' \) окажется точно под главной оптической осью на расстоянии \( 2F \) от линзы. Опустив перпендикуляр на ось, мы получим точку \( A' \). 5. Математическое доказательство (с помощью формулы тонкой линзы): Используем формулу: \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \] Подставим \( d = 2F \): \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{2F} + \frac{1}{f} \] Отсюда выразим \( \frac{1}{f} \): \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{2 - 1}{2F} = \frac{1}{2F} \] Следовательно, \( f = 2F \). Линейное увеличение линзы \( \Gamma \) определяется как: \[ \Gamma = \frac{f}{d} = \frac{2F}{2F} = 1 \] Так как увеличение равно 1, то высота изображения равна высоте предмета (\( H = h \)). Вывод: Изображение предмета, находящегося в двойном фокусе, является действительным, перевернутым и равным по размеру самому предмету, а также располагается в двойном фокусе с другой стороны линзы.