Решение задачи 46 Вариант 2: Исследование сходимости рядов

Задание 46. Вариант 2. Исследовать сходимость знакоположительных рядов. Ниже представлено подробное решение трех рядов из второго варианта. 1) Исследовать на сходимость ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n} \] Решение: Воспользуемся признаком сравнения. Сравним данный ряд с гармоническим рядом \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \), который, как известно, расходится. Для любого \( n \ge 2 \) справедливо неравенство: \[ \ln n < n \] Следовательно, для обратных величин выполняется неравенство: \[ \frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n} \] Так как меньший ряд \( \sum \frac{1}{n} \) расходится, то по признаку сравнения исходный ряд также расходится. Ответ: ряд расходится. 2) Исследовать на сходимость ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \text{tg}^n \frac{\pi}{n+2} \] Решение: Воспользуемся радикальным признаком Коши. Найдем предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \text{tg} \frac{\pi}{n+2} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \text{tg} \frac{\pi}{n+2} \] При \( n \to \infty \) аргумент тангенса стремится к нулю: \[ \frac{\pi}{n+2} \to 0 \] Следовательно: \[ L = \text{tg}(0) = 0 \] Так как \( L = 0 < 1 \), то по радикальному признаку Коши ряд сходится. Ответ: ряд сходится. 3) Исследовать на сходимость ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} \] Решение: Проверим необходимое условие сходимости ряда \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Найдем предел общего члена ряда: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} \] Так как показательная функция \( 3^n \) растет значительно быстрее, чем степенная функция \( \sqrt{n} \), предел равен бесконечности: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} = \infty \neq 0 \] Необходимое условие сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится. Ответ: ряд расходится.