Решение задачи: Вариант №11 (Статистическая обработка)

Для выполнения работы по варианту №11 необходимо провести полную статистическую обработку выборки с учетом индивидуальной поправки. Выполнение работы (Вариант №11) 1. Формирование массива данных Согласно таблице 1.3, для варианта №11 поправка составляет: \[ \Delta x \cdot 10^2 = 11 \Rightarrow \Delta x = 0,11 \] По условию, прибавляем \( 0,11 \) к первым пяти строкам таблицы 1.1 и вычитаем \( 0,11 \) из последних пяти строк. Новые экстремальные значения: \[ x_{min} = 4,97 - 0,11 = 4,86 \] \[ x_{max} = 5,85 + 0,11 = 5,96 \] 2. Группировка данных Число интервалов: \( s = 8 \). Ширина интервала: \[ h = \frac{x_{max} - x_{min}}{s} = \frac{5,96 - 4,86}{8} = 0,1375 \approx 0,14 \] Составим расчетную таблицу (аналог табл. 1.2): \( j \) | Границы \( c_{j-1} \le x < c_j \) | \( x_j^0 \) | \( \nu_j \) | \( \sum \nu \) | \( F^{(n)}(x) \) | \( f^{(n)}(x) \) ---|---|---|---|---|---|--- 1 | 4,86 – 5,00 | 4,93 | 2 | 0 | 0,00 | 0,14 2 | 5,00 – 5,14 | 5,07 | 3 | 2 | 0,02 | 0,21 3 | 5,14 – 5,28 | 5,21 | 12 | 5 | 0,05 | 0,86 4 | 5,28 – 5,42 | 5,35 | 19 | 17 | 0,17 | 1,36 5 | 5,42 – 5,56 | 5,49 | 29 | 36 | 0,36 | 2,07 6 | 5,56 – 5,70 | 5,63 | 18 | 65 | 0,65 | 1,29 7 | 5,70 – 5,84 | 5,77 | 13 | 83 | 0,83 | 0,93 8 | 5,84 – 5,98 | 5,91 | 4 | 96 | 0,96 | 0,29 - | \( x \ge 5,98 \) | - | - | 100 | 1,00 | - Примечание: \( f^{(n)}(x) = \frac{\nu_j}{n \cdot h} \), где \( n=100, h=0,14 \). 3. Построение графиков Гистограмма частот: По оси абсцисс откладываем интервалы, по оси ординат — значения \( f^{(n)}(x) \). Самый высокий столбец будет на 5-м интервале (высота 2,07). График функции распределения: Строится как ломаная линия по точкам \( (c_j, F^{(n)}(c_j)) \). График представляет собой неубывающую ступенчатую функцию от 0 до 1. 4. Расчет числовых характеристик Математическое ожидание (выборочное среднее): \[ \bar{x} = \sum \frac{x_j^0 \cdot \nu_j}{n} \] \[ \bar{x} = \frac{4,93 \cdot 2 + 5,07 \cdot 3 + 5,21 \cdot 12 + 5,35 \cdot 19 + 5,49 \cdot 29 + 5,63 \cdot 18 + 5,77 \cdot 13 + 5,91 \cdot 4}{100} \] \[ \bar{x} = \frac{9,86 + 15,21 + 62,52 + 101,65 + 159,21 + 101,34 + 75,01 + 23,64}{100} = 5,4844 \approx 5,48 \] Дисперсия: \[ D = \frac{\sum (x_j^0 - \bar{x})^2 \cdot \nu_j}{n} \] После расчетов: \[ D \approx 0,048 \] Мода (\( Mo \)): Модальный интервал — пятый (частота 29). \[ Mo = c_{j-1} + h \cdot \frac{\nu_{Mo} - \nu_{Mo-1}}{(\nu_{Mo} - \nu_{Mo-1}) + (\nu_{Mo} - \nu_{Mo+1})} \] \[ Mo = 5,42 + 0,14 \cdot \frac{29 - 19}{(29 - 19) + (29 - 18)} = 5,42 + 0,14 \cdot \frac{10}{21} \approx 5,487 \approx 5,49 \] Вывод: В ходе работы были получены статистические оценки веса отливок. Распределение близко к нормальному, что характерно для стабильных технологических процессов в отечественной металлургии.