Решение: Контрольная работа №1 (7 класс, геометрия)

Контрольная работа №1 (7 класс, геометрия) Вариант — 1 Задача 1. Дано: \(BC = AD\), \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle ABC = 108^{\circ}\), \(\angle BAC = 32^{\circ}\). Найти: \(\angle ACD\), \(\angle ADC\). Решение: 1) Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\). По условию \(BC = AD\), сторона \(AC\) — общая. Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) равны по условию. Заметим, что \(\angle 1\) — это \(\angle BCA\), а \(\angle 2\) — это \(\angle DAC\). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 2) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle ADC = \angle ABC = 108^{\circ}\). \(\angle ACD = \angle BAC = 32^{\circ}\). Ответ: \(\angle ACD = 32^{\circ}\), \(\angle ADC = 108^{\circ}\). Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — медиана, \(DE = AD\). Доказать: \(\triangle ABD = \triangle ECD\). Доказательство: 1) Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle ECD\). 2) По условию \(AD = DE\). 3) Так как \(AD\) — медиана треугольника \(ABC\), то точка \(D\) делит сторону \(BC\) пополам, значит \(BD = CD\). 4) Углы \(\angle ADB\) и \(\angle EDC\) равны как вертикальные. 5) Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle ECD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать. Задача 3. Дано: окр. с центром \(O\), \(TZ\) — хорда, \(OM \perp TZ\), \(\angle T = 63^{\circ}\), \(\angle TOM = 21^{\circ}\). Найти: \(\angle TOZ\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle OTZ\). Так как \(OT\) и \(OZ\) — радиусы окружности, то \(OT = OZ\), значит \(\triangle OTZ\) — равнобедренный. 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \(\angle Z = \angle T = 63^{\circ}\). 3) Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). \[ \angle TOZ = 180^{\circ} - (\angle T + \angle Z) \] \[ \angle TOZ = 180^{\circ} - (63^{\circ} + 63^{\circ}) = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \] Ответ: \(54^{\circ}\). Вариант — 2 Задача 1. Дано: \(AE = ED\), \(\angle A = \angle D\), \(DE = 4\) см, \(DC = 3\) см, \(EC = 5\) см. Найти: \(P_{ABE}\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle ABE\) и \(\triangle DCE\). По условию \(AE = ED\), \(\angle A = \angle D\). Углы \(\angle AEB\) и \(\angle DEC\) равны как вертикальные. Следовательно, \(\triangle ABE = \triangle DCE\) по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 2) Из равенства треугольников следует: \(AB = DC = 3\) см, \(BE = EC = 5\) см. 3) Периметр \(\triangle ABE\): \[ P_{ABE} = AB + BE + AE \] Так как \(AE = ED = 4\) см: \[ P_{ABE} = 3 + 5 + 4 = 12 \text{ см} \] Ответ: 12 см. Задача 2. Дано: \(AB = AD\), \(BC = DC\). Доказать: \(AC\) — биссектриса \(\angle BAD\). Доказательство: 1) Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). 2) \(AB = AD\) (по условию), \(BC = DC\) (по условию), сторона \(AC\) — общая. 3) Значит, \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по третьему признаку (по трем сторонам). 4) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle BAC = \angle DAC\). 5) Так как углы равны, то луч \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\). Что и требовалось доказать. Задача 3. Дано: окр. с центром \(O\), \(WF\) — хорда, \(ON\) — биссектриса \(\angle WOF\), \(OW = 10\) см, \(WN = 6\) см. Найти: \(WF\). Решение: 1) Рассмотрим \(\triangle WOF\). \(OW = OF\) как радиусы, значит \(\triangle WOF\) — равнобедренный. 2) В равнобедренном треугольнике биссектриса \(ON\), проведенная к основанию, является также медианой и высотой. 3) Так как \(ON\) — медиана, то точка \(N\) делит хорду \(WF\) пополам: \[ WF = 2 \cdot WN \] \[ WF = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} \] Ответ: 12 см.