Решение задач 2235-2237 по геометрии

Ниже представлены решения всех задач из списка в оформлении, удобном для переписывания в тетрадь. 2235. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 20 \), \( \text{tg } A = 0,2 \). Найти: \( BC \). Решение: По определению тангенса в прямоугольном треугольнике: \[ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} \] Отсюда: \[ BC = AC \cdot \text{tg } A = 20 \cdot 0,2 = 4 \] Ответ: 4. 2236. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 16 \), \( \text{tg } A = 0,25 \). Найти: \( BC \). Решение: \[ BC = AC \cdot \text{tg } A = 16 \cdot 0,25 = 4 \] Ответ: 4. 2237. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( BC = 4 \), \( \text{tg } A = 0,2 \). Найти: \( AC \). Решение: \[ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} \implies AC = \frac{BC}{\text{tg } A} \] \[ AC = \frac{4}{0,2} = 20 \] Ответ: 20. 2238. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( BC = 4 \), \( \text{tg } A = 0,25 \). Найти: \( AC \). Решение: \[ AC = \frac{BC}{\text{tg } A} = \frac{4}{0,25} = 16 \] Ответ: 16. 2239. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 5 \), \( \text{tg } A = \frac{7}{24} \). Найти: \( AC \). Решение: Воспользуемся формулой связи тангенса и косинуса: \[ 1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ 1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{625}{576} = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ \cos^2 A = \frac{576}{625} \implies \cos A = \frac{24}{25} \] В прямоугольном треугольнике: \[ AC = AB \cdot \cos A = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{24}{5} = 4,8 \] Ответ: 4,8. 2240. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 40 \), \( \text{tg } A = \frac{55}{3\sqrt{55}} \). Найти: \( AC \). Решение: Упростим тангенс: \( \text{tg } A = \frac{\sqrt{55}}{3} \). \[ 1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \implies 1 + \frac{55}{9} = \frac{64}{9} = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ \cos^2 A = \frac{9}{64} \implies \cos A = \frac{3}{8} \] \[ AC = AB \cdot \cos A = 40 \cdot \frac{3}{8} = 5 \cdot 3 = 15 \] Ответ: 15. 2241. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 17 \), \( \text{tg } A = \frac{8}{15} \). Найти: \( BC \). Решение: \[ 1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} \text{, где } \text{ctg } A = \frac{15}{8} \] \[ 1 + \frac{225}{64} = \frac{289}{64} = \frac{1}{\sin^2 A} \implies \sin A = \frac{8}{17} \] \[ BC = AB \cdot \sin A = 17 \cdot \frac{8}{17} = 8 \] Ответ: 8. 2242. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 2,6 \), \( \text{tg } A = \frac{5}{12} \). Найти: \( BC \). Решение: \[ \text{ctg } A = \frac{12}{5} \implies \frac{1}{\sin^2 A} = 1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{169}{25} \] \[ \sin A = \frac{5}{13} \] \[ BC = AB \cdot \sin A = 2,6 \cdot \frac{5}{13} = 0,2 \cdot 5 = 1 \] Ответ: 1. 2243. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( CH \perp AB \), \( AB = 16 \), \( \sin A = \frac{3}{4} \). Найти: \( BH \). Решение: В \( \triangle ABC \): \( BC = AB \cdot \sin A = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12 \). В \( \triangle BCH \) угол \( \angle BCH = \angle A \), так как они оба дополняют \( \angle B \) до \( 90^\circ \). Тогда в \( \triangle BCH \): \[ BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = BC \cdot \sin A = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9 \] Ответ: 9. 2244. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( CH \perp AB \), \( AB = 18 \), \( \sin A = \frac{2}{3} \). Найти: \( BH \). Решение: \[ BC = AB \cdot \sin A = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 \] \[ BH = BC \cdot \sin A = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8 \] Ответ: 8. 2245. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( CH \perp AB \), \( AB = 16 \), \( \cos A = \frac{3}{4} \). Найти: \( AH \). Решение: В \( \triangle ABC \): \( AC = AB \cdot \cos A = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12 \). В прямоугольном \( \triangle ACH \): \[ AH = AC \cdot \cos A = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9 \] Ответ: 9. 2246. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( CH \perp AB \), \( AB = 18 \), \( \cos A = \frac{2}{3} \). Найти: \( AH \). Решение: \[ AC = AB \cdot \cos A = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 \] \[ AH = AC \cdot \cos A = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8 \] Ответ: 8.