Решение задачи 59: Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Для решения задания 59 воспользуемся формулами средних пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике, приведенными в справочном блоке:
1) \( c = a_c + b_c \)
2) \( h^2 = a_c \cdot b_c \)
3) \( a^2 = c \cdot a_c \)
4) \( b^2 = c \cdot b_c \)
5) \( a^2 + b^2 = c^2 \) (теорема Пифагора)

Ниже приведены пошаговые решения для каждой строки таблицы:

Строка 1) Дано: \( a_c = 9 \), \( b_c = 16 \).
\( c = 9 + 16 = 25 \)
\( h = \sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12 \)
\( a = \sqrt{25 \cdot 9} = 5 \cdot 3 = 15 \)
\( b = \sqrt{25 \cdot 16} = 5 \cdot 4 = 20 \)

Строка 2) Дано: \( b_c = 9 \), \( h = 6 \).
\( h^2 = a_c \cdot b_c \Rightarrow 36 = a_c \cdot 9 \Rightarrow a_c = 4 \)
\( c = 4 + 9 = 13 \)
\( a = \sqrt{13 \cdot 4} = 2\sqrt{13} \)
\( b = \sqrt{13 \cdot 9} = 3\sqrt{13} \)

Строка 3) Дано: \( a_c = 12 \), \( c = 15 \).
\( b_c = c - a_c = 15 - 12 = 3 \)
\( h = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6 \)
\( a = \sqrt{15 \cdot 12} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \)
\( b = \sqrt{15 \cdot 3} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)

Строка 4) Дано: \( a = 8 \), \( a_c = 4 \).
\( a^2 = c \cdot a_c \Rightarrow 64 = c \cdot 4 \Rightarrow c = 16 \)
\( b_c = c - a_c = 16 - 4 = 12 \)
\( h = \sqrt{4 \cdot 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \)
\( b = \sqrt{16 \cdot 12} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \)

Строка 5) Дано: \( b = 18 \), \( c = 30 \).
\( b^2 = c \cdot b_c \Rightarrow 324 = 30 \cdot b_c \Rightarrow b_c = 10,8 \)
\( a_c = c - b_c = 30 - 10,8 = 19,2 \)
\( a = \sqrt{30 \cdot 19,2} = \sqrt{576} = 24 \)
\( h = \sqrt{19,2 \cdot 10,8} = \sqrt{207,36} = 14,4 \)

Строка 6) Дано: \( a = 40 \), \( c = 50 \).
\( a^2 = c \cdot a_c \Rightarrow 1600 = 50 \cdot a_c \Rightarrow a_c = 32 \)
\( b_c = c - a_c = 50 - 32 = 18 \)
\( b = \sqrt{50 \cdot 18} = \sqrt{900} = 30 \)
\( h = \sqrt{32 \cdot 18} = \sqrt{576} = 24 \)

Строка 7) Дано: \( a = 6\sqrt{3} \), \( c = 12 \).
\( a^2 = c \cdot a_c \Rightarrow (6\sqrt{3})^2 = 12 \cdot a_c \Rightarrow 108 = 12 \cdot a_c \Rightarrow a_c = 9 \)
\( b_c = 12 - 9 = 3 \)
\( b = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6 \)
\( h = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)

Строка 8) Дано: \( b = 6 \), \( h = 4\sqrt{3} \).
Из треугольника с катетами \( h \) и \( b_c \): \( b^2 = h^2 + b_c^2 \)
\( 36 = (4\sqrt{3})^2 + b_c^2 \Rightarrow 36 = 48 + b_c^2 \). Данная ситуация невозможна в обычном прямоугольном треугольнике (высота не может быть больше катета). Проверим формулу \( b^2 = c \cdot b_c \).
Если допустить опечатку в условии и \( c = 4\sqrt{3} \):
\( a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
\( b_c = b^2 / c = 36 / 4\sqrt{3} = 9/\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)
\( a_c = c - b_c = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3} \)
\( h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}} = \sqrt{9} = 3 \)

Заполненная таблица (значения):
1) \( a=15, b=20, a_c=9, b_c=16, c=25, h=12 \)
2) \( a=2\sqrt{13}, b=3\sqrt{13}, a_c=4, b_c=9, c=13, h=6 \)
3) \( a=6\sqrt{5}, b=3\sqrt{5}, a_c=12, b_c=3, c=15, h=6 \)
4) \( a=8, b=8\sqrt{3}, a_c=4, b_c=12, c=16, h=4\sqrt{3} \)
5) \( a=24, b=18, a_c=19,2, b_c=10,8, c=30, h=14,4 \)
6) \( a=40, b=30, a_c=32, b_c=18, c=50, h=24 \)
7) \( a=6\sqrt{3}, b=6, a_c=9, b_c=3, c=12, h=3\sqrt{3} \)
8) \( a=2\sqrt{3}, b=6, a_c=\sqrt{3}, b_c=3\sqrt{3}, c=4\sqrt{3}, h=3 \)