Решение задачи по теории вероятностей

Решение домашнего задания по теории вероятностей. Задание 1. На соревнования приехали гимнастки из трёх стран: из России — 7, из Германии — 8, из Чехии — 5. Порядок выступлений определяется жребием. Сначала найдём общее количество гимнасток: \[ 7 + 8 + 5 = 20 \] а) Какова вероятность того, что второй по счёту будет выступать гимнастка из России или Чехии? Количество благоприятных исходов (гимнастки из России и Чехии): \[ 7 + 5 = 12 \] Вероятность \( P \) равна отношению благоприятных исходов к общему количеству: \[ P = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: 0,6. б) Какова вероятность того, что третьим по счёту будет выступление какой-нибудь гимнастки из Германии? Количество благоприятных исходов (гимнастки из Германии): 8. \[ P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4 \] Ответ: 0,4. Задание 3. Миша покупает альбом (А), блокнот (Б) и тетрадь (Т). Продавец достаёт эти товары в случайном порядке. Всего возможных вариантов последовательности (перестановок) из 3 предметов: \[ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \] Варианты: (А, Б, Т), (А, Т, Б), (Б, А, Т), (Б, Т, А), (Т, А, Б), (Т, Б, А). а) Сначала продавец достанет блокнот. Благоприятные варианты: (Б, А, Т) и (Б, Т, А). Всего 2 варианта. \[ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33 \] Ответ: 1/3. б) Продавец достанет альбом в последнюю очередь. Благоприятные варианты: (Б, Т, А) и (Т, B, А). Всего 2 варианта. \[ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33 \] Ответ: 1/3. в) Продавец сначала достанет тетрадь, а в последнюю очередь — блокнот. Благоприятный вариант только один: (Т, А, Б). \[ P = \frac{1}{6} \approx 0,17 \] Ответ: 1/6. г) Альбом будет извлечён раньше, чем тетрадь. В половине всех возможных случаев альбом будет раньше тетради, а в другой половине — позже. Благоприятные варианты: (А, Б, Т), (А, Т, Б), (Б, А, Т). Всего 3 варианта. \[ P = \frac{3}{6} = 0,5 \] Ответ: 0,5. Задание 4. При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным. Общее количество насосов: \[ 2982 + 18 = 3000 \] Вероятность того, что насос неисправен: \[ P = \frac{18}{3000} = \frac{6}{1000} = 0,006 \] Ответ: 0,006. Задание 5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса? Найдём количество выступлений в оставшиеся 4 дня: \[ 80 - 8 = 72 \] Количество выступлений в третий день: \[ \frac{72}{4} = 18 \] Вероятность того, что выступление представителя нашей великой Родины, России, выпадет на третий день: \[ P = \frac{18}{80} = \frac{9}{40} = 0,225 \] Ответ: 0,225.