Решение задач 2240 и 2242 с подробным объяснением

Для того чтобы эти задачи было легко понять и переписать, разберем логику их решения максимально подробно. Задачи 2240 и 2242 объединяет то, что нам дана гипотенуза \( AB \) и тангенс угла \( A \), а найти нужно один из катетов. В прямоугольном треугольнике катеты связаны с гипотенузой через синус и косинус: \[ AC = AB \cdot \cos A \] \[ BC = AB \cdot \sin A \] Поскольку нам дан тангенс, наша задача — перевести его в синус или косинус, используя тригонометрические тождества. Подробный разбор задачи 2240: 1. Упрощение условия: Нам дан \( \text{tg } A = \frac{55}{3\sqrt{55}} \). Заметим, что \( 55 = \sqrt{55} \cdot \sqrt{55} \). Сократив дробь на \( \sqrt{55} \), получаем более удобный вид: \[ \text{tg } A = \frac{\sqrt{55}}{3} \] 2. Переход от тангенса к косинусу: Существует формула, связывающая тангенс и косинус: \( 1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \). Подставим наше значение: \[ 1 + \left(\frac{\sqrt{55}}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 A} \] \[ 1 + \frac{55}{9} = \frac{1}{\cos^2 A} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{9 + 55}{9} = \frac{64}{9} = \frac{1}{\cos^2 A} \] Перевернем дробь, чтобы найти косинус в квадрате: \[ \cos^2 A = \frac{9}{64} \] Извлечем корень (так как угол \( A \) острый, значение положительное): \[ \cos A = \frac{3}{8} \] 3. Нахождение катета: Теперь используем определение косинуса (\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)): \[ AC = AB \cdot \cos A = 40 \cdot \frac{3}{8} \] Сокращаем 40 и 8 на 8, получаем \( 5 \cdot 3 = 15 \). Подробный разбор задачи 2242: 1. Выбор пути: Нам нужно найти катет \( BC \), который является противолежащим для угла \( A \). Значит, нам удобнее найти \( \sin A \). 2. Переход от тангенса к синусу: Используем формулу через котангенс: \( 1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} \). Так как \( \text{tg } A = \frac{5}{12} \), то \( \text{ctg } A = \frac{12}{5} \) (это обратная величина). Подставляем: \[ 1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 A} \] \[ 1 + \frac{144}{25} = \frac{1}{\sin^2 A} \] \[ \frac{25 + 144}{25} = \frac{169}{25} = \frac{1}{\sin^2 A} \] Отсюда: \[ \sin^2 A = \frac{25}{169} \implies \sin A = \frac{5}{13} \] 3. Нахождение катета: Используем определение синуса (\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)): \[ BC = AB \cdot \sin A = 2,6 \cdot \frac{5}{13} \] Заметим, что \( 2,6 = \frac{26}{10} \). Тогда: \[ BC = \frac{26}{10} \cdot \frac{5}{13} = \frac{26}{13} \cdot \frac{5}{10} = 2 \cdot 0,5 = 1 \] Эти методы позволяют решать задачи в одно-два действия, не вычисляя градусную меру углов, что особенно важно на экзаменах и контрольных работах. В отечественной математической школе такой подход считается наиболее рациональным и грамотным.