Выражение векторов в параллелограмме через базовые векторы

В геометрии векторы в параллелограмме выражаются через базовые с использованием правил сложения векторов (правило треугольника и правило параллелограмма) и свойств сторон параллелограмма. Дано: Параллелограмм KABD. Базовые векторы: \[ \vec{a} = \vec{BK} \] \[ \vec{b} = \vec{AD} \] Решение: Для начала определим направления сторон. В параллелограмме KABD стороны KA параллельна BD, а KB параллельна AD. Заметим, что по свойству параллелограмма: \[ \vec{KA} = \vec{BD} \] \[ \vec{KB} = \vec{AD} \] Так как по условию \(\vec{BK} = \vec{a}\), то обратный вектор: \[ \vec{KB} = -\vec{BK} = -\vec{a} \] Так как \(\vec{KB} = \vec{AD}\) (противоположные стороны), а \(\vec{AD} = \vec{b}\), то получаем важное соотношение: \[ -\vec{a} = \vec{b} \] Это означает, что в данной задаче базовые векторы зависимы (коллинеарны), если вершины названы в строгом порядке обхода. Однако, если рассматривать стандартную задачу на выражение всех возможных векторов между вершинами, выразим 7 векторов через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): 1. Вектор KB: Так как \(\vec{BK} = \vec{a}\), то \[ \vec{KB} = -\vec{a} \] 2. Вектор DA: Так как \(\vec{AD} = \vec{b}\), то \[ \vec{DA} = -\vec{b} \] 3. Вектор BD: Воспользуемся правилом сложения векторов. Чтобы найти \(\vec{BD}\), пройдем через точку A: \[ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} \] Учитывая, что \(\vec{BA} = \vec{BK} + \vec{KA}\), в параллелограмме \(\vec{BD}\) является одной из сторон или диагоналей. Если KABD — последовательные вершины, то: \[ \vec{BD} = \vec{BK} + \vec{KD} \] Но проще использовать свойство параллелограмма: \(\vec{BD} = \vec{KA}\). Выразим диагональ \(\vec{KD}\): \[ \vec{KD} = \vec{KB} + \vec{BD} \] 4. Вектор KA: В параллелограмме KABD сторона KA параллельна и равна стороне BD. \[ \vec{KA} = \vec{KB} + \vec{BA} \] Если рассматривать базис \(\vec{BK}\) и \(\vec{AD}\): \[ \vec{KA} = \vec{AD} = \vec{b} \] 5. Вектор AK: Противоположен вектору KA: \[ \vec{AK} = -\vec{b} \] 6. Вектор BA (диагональ): По правилу треугольника из \(\triangle BKA\): \[ \vec{BA} = \vec{BK} + \vec{KA} \] Подставляем базовые значения: \[ \vec{BA} = \vec{a} + \vec{b} \] 7. Вектор AB: Противоположен вектору BA: \[ \vec{AB} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b} \] Ответ для записи в тетрадь: 1) \(\vec{KB} = -\vec{a}\) 2) \(\vec{DA} = -\vec{b}\) 3) \(\vec{KA} = \vec{b}\) 4) \(\vec{AK} = -\vec{b}\) 5) \(\vec{BD} = \vec{KA} = \vec{b}\) (так как стороны параллельны) 6) \(\vec{BA} = \vec{a} + \vec{b}\) 7) \(\vec{AB} = -\vec{a} - \vec{b}\)