Выражение векторов через базисные в параллелограмме KABD

Ниже представлено решение задачи по выражению векторов через базисные векторы параллелограмма. Дано: Параллелограмм \(KABD\). Базисные векторы: \(\vec{BK} = \vec{a}\), \(\vec{AD} = \vec{b}\). Отношения отрезков: \(MA : MB = 3 : 1\) \(KE : ED = 7 : 2\) \(AF : FD = 4 : 2\) (что упрощается до \(2 : 1\)) Решение: 1. Выразим основные стороны параллелограмма через базис. По правилу сложения векторов: \[ \vec{BA} = \vec{BK} + \vec{KA} \] Так как в параллелограмме \(\vec{KA} = \vec{BD}\), а \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\), удобнее использовать треугольник \(ABD\). Заметим, что \(\vec{BD} = \vec{BK} + \vec{KD}\). В параллелограмме \(\vec{KD} = \vec{BA}\). Из треугольника \(ABD\): \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\). Следовательно: \(\vec{BK} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AD}\) — это не дает результата. Верный путь: \[ \vec{BD} = \vec{BK} + \vec{KD} = \vec{a} + \vec{BA} \] Также из треугольника \(ABD\): \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{b}\). Отсюда \(\vec{a} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{b}\), что означает \(\vec{a} = \vec{b}\) только если векторы совпадают. По рисунку: \[ \vec{KD} = \vec{BA} \] \[ \vec{KA} = \vec{BD} \] Выразим \(\vec{BA}\): \[ \vec{BA} = \vec{BD} - \vec{AD} = \vec{KA} - \vec{b} \] Используя вектор \(\vec{BK}\): \[ \vec{BA} = \vec{BK} + \vec{KA} = \vec{a} + \vec{KA} \] Из системы уравнений находим: \[ \vec{KA} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) \] — это не совсем корректно для произвольного параллелограмма. Правильный метод через сумму векторов: \[ \vec{BD} = \vec{BK} + \vec{KD} \] \[ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} \] Так как \(KD = BA\), то \(\vec{KD} = \vec{BA}\). Тогда \(\vec{BD} = \vec{a} + \vec{BA}\) и \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{b}\). Это означает, что в данной задаче векторы \(\vec{BK}\) и \(\vec{AD}\) должны быть связаны. Однако, если рассматривать их как независимый базис: \[ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{b} \] \[ \vec{BK} = \vec{BD} + \vec{DK} = \vec{BD} - \vec{BA} \] Подставим первое во второе: \[ \vec{a} = (\vec{BA} + \vec{b}) - \vec{BA} = \vec{b} \] Это противоречит геометрии параллелограмма, если только \(K\) не совпадает с \(A\). Вероятно, на чертеже \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — это \(\vec{BA}\) и \(\vec{BD}\). Предположим стандартный базис: \(\vec{BA} = \vec{m}\), \(\vec{BD} = \vec{n}\). Но строго по вашему условию: 1) \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\) 2) \(\vec{BK} = \vec{BD} + \vec{DK} = \vec{BD} - \vec{BA}\) Отсюда выражаем \(\vec{BA}\) и \(\vec{BD}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (\vec{BA} + \vec{b}) - \vec{BA} \Rightarrow \vec{a} = \vec{b} \] Если в условии ошибка и базис это \(\vec{BA} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\), то: 1) Вектор \(\vec{BD}\): \[ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} \] 2) Вектор \(\vec{BM}\): Так как \(MA:MB = 3:1\), то \(MB = \frac{1}{4} BA\). \[ \vec{BM} = \frac{1}{4} \vec{BA} = \frac{1}{4} \vec{a} \] 3) Вектор \(\vec{AM}\): \[ \vec{AM} = \frac{3}{4} \vec{AB} = -\frac{3}{4} \vec{a} \] 4) Вектор \(\vec{AF}\): Так как \(AF:FD = 2:1\), то \(AF = \frac{2}{3} AD\). \[ \vec{AF} = \frac{2}{3} \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{b} \] 5) Вектор \(\vec{KD}\): В параллелограмме \(\vec{KD} = \vec{BA}\). \[ \vec{KD} = \vec{a} \] 6) Вектор \(\vec{KE}\): Так как \(KE:ED = 7:2\), то \(KE = \frac{7}{9} KD\). \[ \vec{KE} = \frac{7}{9} \vec{KD} = \frac{7}{9} \vec{a} \] 7) Вектор \(\vec{MF}\): По правилу треугольника: \[ \vec{MF} = \vec{MA} + \vec{AF} \] \[ \vec{MA} = \frac{3}{4} \vec{BA} = \frac{3}{4} \vec{a} \] \[ \vec{MF} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \]