Решение задачи: углы треугольника ABC при ∠BMC = 140°

Дано: Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AB = AC\)). \(BD \perp AC\), \(CE \perp AB\) — высоты. \(M\) — точка пересечения высот. \(\angle BMC = 140^\circ\). Найти: \(\angle A, \angle B, \angle C\). Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник \(AEMD\). Так как \(BD\) и \(CE\) — высоты, то углы при вершинах \(E\) и \(D\) прямые: \(\angle MEA = 90^\circ\) \(\angle MDA = 90^\circ\) 2. Углы \(\angle BMC\) и \(\angle EMD\) являются вертикальными, следовательно: \(\angle EMD = \angle BMC = 140^\circ\) 3. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\). Для четырехугольника \(AEMD\): \(\angle A + \angle MEA + \angle EMD + \angle MDA = 360^\circ\) Подставим известные значения: \(\angle A + 90^\circ + 140^\circ + 90^\circ = 360^\circ\) \(\angle A + 320^\circ = 360^\circ\) \(\angle A = 360^\circ - 320^\circ = 40^\circ\) 4. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(BC\), то углы при основании равны: \(\angle B = \angle C\) Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \(40^\circ + 2 \cdot \angle B = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle B = 180^\circ - 40^\circ\) \(2 \cdot \angle B = 140^\circ\) \(\angle B = 70^\circ\) Следовательно, \(\angle C = 70^\circ\). Ответ: \(\angle A = 40^\circ\), \(\angle B = 70^\circ\), \(\angle C = 70^\circ\).