Вывод уравнения малых поперечных колебаний струны

Рассмотрим вывод уравнения малых поперечных колебаний гибкой однородной струны. 1. Постановка задачи и допущения Рассмотрим струну длиной \( l \), натянутую вдоль оси \( Ox \) с силой \( T \). Пусть \( \rho \) — линейная плотность струны (масса единицы длины). Будем рассматривать малые поперечные отклонения струны \( u(x, t) \) от положения равновесия. Допущения: — Струна абсолютно гибкая (не сопротивляется изгибу). — Колебания малые, поэтому натяжение \( T \) можно считать постоянным во всех точках. — Сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с силой натяжения. 2. Выделение элемента струны Выделим малый элемент струны длиной \( dx \), заключенный между точками \( x \) и \( x + dx \). На концы этого элемента действуют силы натяжения \( \vec{T}(x) \) и \( \vec{T}(x + dx) \), направленные по касательной к профилю струны. Обозначим углы наклона касательной к оси \( Ox \) как \( \alpha(x, t) \) и \( \alpha(x + dx, t) \). 3. Применение второго закона Ньютона Запишем уравнение движения выделенного элемента в проекции на вертикальную ось \( Ou \): \[ m \cdot a_u = \sum F_u \] Масса элемента: \( dm = \rho \cdot dx \). Ускорение: \( a_u = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \). Сумма проекций сил натяжения: \[ \rho \cdot dx \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \cdot \sin \alpha(x + dx, t) - T \cdot \sin \alpha(x, t) \] 4. Упрощение для малых колебаний Так как колебания малые, углы \( \alpha \) очень малы. Для малых углов можно считать: \[ \sin \alpha \approx \tan \alpha = \frac{\partial u}{\partial x} \] Подставим это в уравнение: \[ \rho \cdot dx \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \cdot \left( \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{x+dx} - \left. \frac{\partial u}{\partial x} \right|_{x} \right) \] 5. Переход к дифференциальному уравнению Разделим обе части уравнения на \( dx \): \[ \rho \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \cdot \frac{\frac{\partial u}{\partial x}(x+dx, t) - \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)}{dx} \] Предел отношения в правой части при \( dx \to 0 \) по определению является второй производной по \( x \): \[ \rho \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] Разделим на \( \rho \): \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] Введем обозначение \( a^2 = \frac{T}{\rho} \), где \( a \) — скорость распространения возмущений (волн) в струне. Итоговое уравнение: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] Это и есть волновое уравнение, описывающее малые поперечные колебания струны. Оно является фундаментальным в физике и математике, и его изучение в российской школе и вузах закладывает основу для понимания волновых процессов в природе.