Решение задачи: w = sin(z) - Найти Re(w) и Im(w)

Для нахождения действительной и мнимой частей функции \( w = \sin z \), воспользуемся определением комплексного переменного \( z = x + iy \), где \( x \) — действительная часть, а \( y \) — мнимая часть. Запишем исходное выражение: \[ w = \sin(x + iy) \] Используем тригонометрическую формулу синуса суммы: \[ \sin(x + iy) = \sin x \cos(iy) + \cos x \sin(iy) \] Для дальнейших преобразований применим формулы связи тригонометрических и гиперболических функций: 1. \( \cos(iy) = \cosh y \) (гиперболический косинус) 2. \( \sin(iy) = i \sinh y \) (гиперболический синус) Подставим эти значения в наше выражение: \[ w = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y \] Комплексное число \( w \) записывается в виде \( w = u + iv \), где \( u \) — действительная часть (\( \text{Re } w \)), а \( v \) — мнимая часть (\( \text{Im } w \)). Следовательно: Действительная часть: \[ u(x, y) = \sin x \cosh y \] Мнимая часть: \[ v(x, y) = \cos x \sinh y \] Ответ для записи в тетрадь: \[ \text{Re } w = \sin x \cosh y \] \[ \text{Im } w = \cos x \sinh y \]