Решение задачи: w=cosz, sinz - действительная и мнимая часть

Для нахождения действительной и мнимой частей функции \( w = \cos z \), представим комплексное число \( z \) в виде \( z = x + iy \), где \( x \) и \( y \) — действительные числа. Запишем исходное выражение: \[ w = \cos(x + iy) \] Используем тригонометрическую формулу косинуса суммы: \[ \cos(x + iy) = \cos x \cos(iy) - \sin x \sin(iy) \] Применим формулы связи тригонометрических функций от мнимого аргумента с гиперболическими функциями: 1. \( \cos(iy) = \cosh y \) 2. \( \sin(iy) = i \sinh y \) Подставим данные соотношения в формулу: \[ w = \cos x \cosh y - \sin x (i \sinh y) \] \[ w = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y \] Функция комплексного переменного записывается в виде \( w = u + iv \). Сопоставляя части выражения, получаем: Действительная часть (\( \text{Re } w \)): \[ u(x, y) = \cos x \cosh y \] Мнимая часть (\( \text{Im } w \)): \[ v(x, y) = -\sin x \sinh y \] Ответ для записи в тетрадь: \[ \text{Re } w = \cos x \cosh y \] \[ \text{Im } w = -\sin x \sinh y \]