Решение дифференциального уравнения y'=y*xsinx

Дано дифференциальное уравнение первого порядка: \[ y' = y \cdot x \sin x \] Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его пошагово. 1. Запишем производную \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = y \cdot x \sin x \] 2. Разделим переменные (перенесем \( y \) в левую часть, а \( dx \) в правую): \[ \frac{dy}{y} = x \sin x \, dx \] 3. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dy}{y} = \int x \sin x \, dx \] 4. Левая часть берется легко: \[ \int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_1 \] 5. Правую часть \( \int x \sin x \, dx \) вычислим методом интегрирования по частям. Формула: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \). Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \). Пусть \( dv = \sin x \, dx \), тогда \( v = -\cos x \). \[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C_2 \] 6. Приравниваем результаты: \[ \ln|y| = \sin x - x \cos x + C \] 7. Выразим \( y \), потенцируя обе части (возводя \( e \) в степень обеих частей): \[ |y| = e^{\sin x - x \cos x + C} \] \[ y = \pm e^C \cdot e^{\sin x - x \cos x} \] Обозначим произвольную константу \( \pm e^C \) как \( C \): Ответ: \[ y = C \cdot e^{\sin x - x \cos x} \]