schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение √(7 + 4√3): Пошаговое объяснение с выделением полного квадрата
help_outlineУсловие задачи
Your task is to write a step-by-step correct solution to the task. Each step should be described briefly, but this should not affect the quality of the solution. Everything must be correctly calculated. If you make a mistake, recalculate until you get the correct solution. All details of the problem must be observed. Write clearly for students. The solution must be logical and reproducible. Recheck the solution many times, provide only the correct solution: Positive square root of some square root Do not make mistakes!
lightbulbКраткий ответ
Чтобы решить √(7 + 4√3), нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы. В результате получаем (2 + √3).
Подробное решение
Ниже представлено пошаговое решение задачи на нахождение положительного квадратного корня из выражения, содержащего другой корень. Это типичное задание на выделение полного квадрата под знаком корня.
Задача: Найти значение выражения \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\).
Решение:
1. Для извлечения корня нам нужно представить выражение под корнем в виде квадрата суммы:
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
2. Сопоставим наше выражение \(7 + 4\sqrt{3}\) с формулой. Пусть удвоенное произведение \(2ab\) соответствует иррациональной части:
\[2ab = 4\sqrt{3}\]
Отсюда:
\[ab = 2\sqrt{3}\]
3. Подберем такие \(a\) и \(b\), чтобы сумма их квадратов была равна 7. Попробуем \(a = 2\) и \(b = \sqrt{3}\):
\[a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7\]
Условие выполняется, так как сумма квадратов совпадает с целой частью нашего выражения.
4. Запишем выражение под корнем как полный квадрат:
\[7 + 4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2\]
5. Теперь извлечем внешний квадратный корень:
\[\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2}\]
6. Так как \(2 + \sqrt{3} > 0\), то по свойству корня \(\sqrt{x^2} = |x|\) получаем:
\[\sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}\]
Ответ: \(2 + \sqrt{3}\).