Решение Интегралов с Экспонентой: Онлайн Помощь

Хорошо, я решу задачи по интегрированию, представленные на изображении. Буду использовать формат MathJax с \( \) и \[ \]. Вот решения: 1. \[ \int e^{7x^2+2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 7x^2+2 \), тогда \( du = 14x \, dx \), или \( x \, dx = \frac{1}{14} du \). \[ \int e^u \frac{1}{14} du = \frac{1}{14} \int e^u du = \frac{1}{14} e^u + C = \frac{1}{14} e^{7x^2+2} + C \] 2. \[ \int e^{-3x} \, dx \] Сделаем замену: \( u = -3x \), тогда \( du = -3 \, dx \), или \( dx = -\frac{1}{3} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{3}\right) du = -\frac{1}{3} \int e^u du = -\frac{1}{3} e^u + C = -\frac{1}{3} e^{-3x} + C \] 3. \[ \int e^{3x^2+4} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 3x^2+4 \), тогда \( du = 6x \, dx \), или \( x \, dx = \frac{1}{6} du \). \[ \int e^u \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int e^u du = \frac{1}{6} e^u + C = \frac{1}{6} e^{3x^2+4} + C \] 4. \[ \int \frac{e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] Сделаем замену: \( u = \arcsin x \), тогда \( du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \). \[ \int e^u du = e^u + C = e^{\arcsin x} + C \] 5. \[ \int \frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x} \, dx \] Сделаем замену: \( u = \tan x \), тогда \( du = \frac{1}{\cos^2 x} \, dx \). \[ \int e^u du = e^u + C = e^{\tan x} + C \] 6. \[ \int e^{x^2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = x^2 \), тогда \( du = 2x \, dx \), или \( x \, dx = \frac{1}{2} du \). \[ \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] 7. \[ \int e^{7x^2+2} x \, dx \] Это та же задача, что и номер 1. \[ \frac{1}{14} e^{7x^2+2} + C \] 8. \[ \int e^{3-x} \, dx \] Сделаем замену: \( u = 3-x \), тогда \( du = -dx \), или \( dx = -du \). \[ \int e^u (-du) = - \int e^u du = -e^u + C = -e^{3-x} + C \] 9. \[ \int e^{5x^2-3} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 5x^2-3 \), тогда \( du = 10x \, dx \), или \( x \, dx = \frac{1}{10} du \). \[ \int e^u \frac{1}{10} du = \frac{1}{10} \int e^u du = \frac{1}{10} e^u + C = \frac{1}{10} e^{5x^2-3} + C \] 10. \[ \int e^{\arcsin x} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] Это та же задача, что и номер 4. \[ e^{\arcsin x} + C \] 11. \[ \int e^{5x^2-3} x \, dx \] Это та же задача, что и номер 9. \[ \frac{1}{10} e^{5x^2-3} + C \] 12. \[ \int e^{1-4x^2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 1-4x^2 \), тогда \( du = -8x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{8} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{8}\right) du = -\frac{1}{8} \int e^u du = -\frac{1}{8} e^u + C = -\frac{1}{8} e^{1-4x^2} + C \] 13. \[ \int e^{3x^2+4} x \, dx \] Это та же задача, что и номер 3. \[ \frac{1}{6} e^{3x^2+4} + C \] 14. \[ \int e^{\sin x+1} \cos x \, dx \] Сделаем замену: \( u = \sin x+1 \), тогда \( du = \cos x \, dx \). \[ \int e^u du = e^u + C = e^{\sin x+1} + C \] 15. \[ \int e^{4-x^2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 4-x^2 \), тогда \( du = -2x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{2} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{4-x^2} + C \] 16. \[ \int \frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x} \, dx \] Это та же задача, что и номер 5. \[ e^{\tan x} + C \] 17. \[ \int e^{3\cos x+2} \sin x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 3\cos x+2 \), тогда \( du = -3\sin x \, dx \), или \( \sin x \, dx = -\frac{1}{3} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{3}\right) du = -\frac{1}{3} \int e^u du = -\frac{1}{3} e^u + C = -\frac{1}{3} e^{3\cos x+2} + C \] 18. \[ \int \frac{x}{e^{x^2-3}} \, dx = \int x e^{-(x^2-3)} \, dx = \int x e^{-x^2+3} \, dx \] Сделаем замену: \( u = -x^2+3 \), тогда \( du = -2x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{2} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2+3} + C \] 19. \[ \int e^{5x^2-3} x \, dx \] Это та же задача, что и номер 9 и 11. \[ \frac{1}{10} e^{5x^2-3} + C \] 20. \[ \int e^{5-2x^2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 5-2x^2 \), тогда \( du = -4x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{4} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{4}\right) du = -\frac{1}{4} \int e^u du = -\frac{1}{4} e^u + C = -\frac{1}{4} e^{5-2x^2} + C \] 21. \[ \int e^{4-3x^2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 4-3x^2 \), тогда \( du = -6x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{6} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{6}\right) du = -\frac{1}{6} \int e^u du = -\frac{1}{6} e^u + C = -\frac{1}{6} e^{4-3x^2} + C \] 22. \[ \int e^{\cos 2x} \sin 2x \, dx \] Сделаем замену: \( u = \cos 2x \), тогда \( du = -2\sin 2x \, dx \), или \( \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{\cos 2x} + C \] 23. \[ \int e^{1-6x^2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 1-6x^2 \), тогда \( du = -12x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{12} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{12}\right) du = -\frac{1}{12} \int e^u du = -\frac{1}{12} e^u + C = -\frac{1}{12} e^{1-6x^2} + C \] 24. \[ \int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2} \, dx \] Сделаем замену: \( u = \arctan x \), тогда \( du = \frac{1}{1+x^2} \, dx \). \[ \int e^u du = e^u + C = e^{\arctan x} + C \] 25. \[ \int e^{4\sin x-1} \cos x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 4\sin x-1 \), тогда \( du = 4\cos x \, dx \), или \( \cos x \, dx = \frac{1}{4} du \). \[ \int e^u \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^u + C = \frac{1}{4} e^{4\sin x-1} + C \] 26. \[ \int e^{x^3+1} x^2 \, dx \] Сделаем замену: \( u = x^3+1 \), тогда \( du = 3x^2 \, dx \), или \( x^2 \, dx = \frac{1}{3} du \). \[ \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3+1} + C \] 27. \[ \int e^{3x^2} x^2 \, dx \] Эта задача не решается простой заменой, как предыдущие. Если это опечатка и должно быть \( \int e^{3x^2} x \, dx \), то решение было бы: Сделаем замену: \( u = 3x^2 \), тогда \( du = 6x \, dx \), или \( x \, dx = \frac{1}{6} du \). \[ \int e^u \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} e^u + C = \frac{1}{6} e^{3x^2} + C \] Если же это не опечатка, то интеграл \( \int e^{3x^2} x^2 \, dx \) не выражается через элементарные функции. 28. \[ \int x^4 e^{-x^5-1} \, dx \] Сделаем замену: \( u = -x^5-1 \), тогда \( du = -5x^4 \, dx \), или \( x^4 \, dx = -\frac{1}{5} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{5}\right) du = -\frac{1}{5} \int e^u du = -\frac{1}{5} e^u + C = -\frac{1}{5} e^{-x^5-1} + C \] 29. \[ \int xe^{-2x^2-1} \, dx \] Сделаем замену: \( u = -2x^2-1 \), тогда \( du = -4x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{4} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{4}\right) du = -\frac{1}{4} \int e^u du = -\frac{1}{4} e^u + C = -\frac{1}{4} e^{-2x^2-1} + C \] 30. \[ \int e^{4-5x^2} x \, dx \] Сделаем замену: \( u = 4-5x^2 \), тогда \( du = -10x \, dx \), или \( x \, dx = -\frac{1}{10} du \). \[ \int e^u \left(-\frac{1}{10}\right) du = -\frac{1}{10} \int e^u du = -\frac{1}{10} e^u + C = -\frac{1}{10} e^{4-5x^2} + C \]