Решение задачи по тригонометрии: Вариант N3

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант N3 1. Найдите \( \sin \alpha \), \( \operatorname{ctg} \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Решение: Дано: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), угол \( \alpha \) находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Найдем \( \sin \alpha \): Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{2}{4} \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} \) \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \) \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} \) (так как \( \sin \alpha > 0 \) в первой четверти) \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Найдем \( \operatorname{tg} \alpha \): Используем формулу: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = 1 \) Найдем \( \operatorname{ctg} \alpha \): Используем формулу: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \). \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{1} \) \( \operatorname{ctg} \alpha = 1 \) Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \operatorname{tg} \alpha = 1 \), \( \operatorname{ctg} \alpha = 1 \). 2. Найдите \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) \), если \( \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \). Решение: Дано: \( \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \). Так как \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \), угол \( \beta \) находится в первой четверти, где \( \cos \beta > 0 \). Найдем \( \cos \beta \): Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \). \( \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta \) \( \cos^2 \beta = 1 - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \) \( \cos^2 \beta = 1 - \frac{2}{4} \) \( \cos^2 \beta = 1 - \frac{1}{2} \) \( \cos^2 \beta = \frac{1}{2} \) \( \cos \beta = \sqrt{\frac{1}{2}} \) (так как \( \cos \beta > 0 \) в первой четверти) \( \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Теперь найдем \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) \). Используем формулу косинуса разности: \( \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \). В нашем случае \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( y = \beta \). Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставим известные значения: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \beta + \sin \frac{\pi}{4} \sin \beta \) \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \) \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \) \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) = 1 \) Ответ: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) = 1 \). 3. Вычислите: а) \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) Решение: Функция \( \arcsin x \) имеет область значений \( \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \). Мы знаем, что \( \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Так как \( \arcsin(-x) = -\arcsin x \), то: \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3} \) Ответ: \( -\frac{\pi}{3} \). б) \( \operatorname{arctg} \sqrt{3} \) Решение: Функция \( \operatorname{arctg} x \) имеет область значений \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Мы знаем, что \( \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \). Следовательно: \( \operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \) Ответ: \( \frac{\pi}{3} \). в) \( \sin \left( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right) \) Решение: Сначала найдем значение \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \). Функция \( \arccos x \) имеет область значений \( [0; \pi] \). Мы знаем, что \( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Для отрицательного значения \( \cos x \), используем свойство \( \arccos(-x) = \pi - \arccos x \). \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi - \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \) \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi - \frac{\pi}{4} \) \( \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \) Теперь найдем \( \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) \). Угол \( \frac{3\pi}{4} \) находится во второй четверти, где \( \sin x > 0 \). \( \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \) \( \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). г) \( \operatorname{tg} \left( 2 \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) \) Решение: Сначала найдем значение \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \). Как мы уже вычисляли в пункте а): \( \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3} \) Теперь подставим это значение в выражение: \( \operatorname{tg} \left( 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \) Функция \( \operatorname{tg} x \) является нечетной, то есть \( \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x \). \( \operatorname{tg} \left( -\frac{2\pi}{3} \right) = -\operatorname{tg} \left( \frac{2\pi}{3} \right) \) Угол \( \frac{2\pi}{3} \) находится во второй четверти, где \( \operatorname{tg} x < 0 \). \( \operatorname{tg} \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \operatorname{tg} \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{3} \right) \) \( \operatorname{tg} \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\sqrt{3} \) Теперь подставим это обратно: \( -\operatorname{tg} \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3} \) Ответ: \( \sqrt{3} \). 4. Построить график и перечислить свойства: а) \( y = \operatorname{ctg} x \) Построение графика: График функции \( y = \operatorname{ctg} x \) имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = \pi k \), где \( k \) - целое число. Функция убывает на каждом интервале своей области определения. Пересекает ось \( Ox \) в точках \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Свойства функции \( y = \operatorname{ctg} x \): 1. Область определения: \( D(y) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} \} \). 2. Область значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \). 3. Периодичность: Функция периодическая с основным периодом \( T = \pi \). 4. Четность/Нечетность: Функция нечетная, так как \( \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x \). График симметричен относительно начала координат. 5. Нули функции: \( \operatorname{ctg} x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). 6. Промежутки знакопостоянства: \( \operatorname{ctg} x > 0 \) при \( x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} \). \( \operatorname{ctg} x < 0 \) при \( x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z} \). 7. Монотонность: Функция убывает на каждом интервале своей области определения, то есть на \( (\pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z} \). 8. Асимптоты: Вертикальные асимптоты \( x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \). 9. Экстремумы: Экстремумов нет. б) \( y = \cos 2x \) Построение графика: График функции \( y = \cos 2x \) получается из графика \( y = \cos x \) сжатием к оси \( Oy \) в 2 раза. Основной период функции \( T = \frac{2\pi}{2} = \pi \). Максимальное значение 1 достигается при \( 2x = 2\pi k \Rightarrow x = \pi k \). Минимальное значение -1 достигается при \( 2x = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Нули функции при \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k \). Свойства функции \( y = \cos 2x \): 1. Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \). 2. Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \). 3. Периодичность: Функция периодическая с основным периодом \( T = \pi \). 4. Четность/Нечетность: Функция четная, так как \( \cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos 2x \). График симметричен относительно оси \( Oy \). 5. Нули функции: \( \cos 2x = 0 \) при \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z} \). 6. Промежутки знакопостоянства: \( \cos 2x > 0 \) при \( x \in \left( -\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k \right), k \in \mathbb{Z} \). \( \cos 2x < 0 \) при \( x \in \left( \frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k \right), k \in \mathbb{Z} \). 7. Монотонность: Функция возрастает на интервалах \( \left[ -\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k \right], k \in \mathbb{Z} \). Функция убывает на интервалах \( \left[ \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k \right], k \in \mathbb{Z} \). 8. Экстремумы: Максимумы: \( y_{max} = 1 \) при \( x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \). Минимумы: \( y_{min} = -1 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). в) \( y = 2 \cos \left( 2 \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right) \) Построение графика: График функции \( y = 2 \cos \left( 2 \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right) \) получается из графика \( y = \cos x \) следующими преобразованиями: 1. Сжатие к оси \( Oy \) в 2 раза (из-за \( 2x \)). Период \( T = \pi \). 2. Сдвиг вправо на \( \frac{\pi}{3} \) (из-за \( x - \frac{\pi}{3} \)). 3. Растяжение от оси \( Ox \) в 2 раза (из-за множителя 2 перед косинусом). Область значений \( [-2; 2] \). Свойства функции \( y = 2 \cos \left( 2 \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \right) \): 1. Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \). 2. Область значений: \( E(y) = [-2; 2] \). 3. Периодичность: Функция периодическая с основным периодом \( T = \pi \). 4. Четность/Нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной из-за сдвига по оси \( Ox \). 5. Нули функции