Решение задачи: y = x² - |6x + 5|

Решение задачи 22. Нам дана функция \(y = x^2 - |6x + 5|\). Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая: Случай 1: \(6x + 5 \ge 0\) Это означает, что \(6x \ge -5\), или \(x \ge -\frac{5}{6}\). В этом случае \(|6x + 5| = 6x + 5\). Тогда функция принимает вид: \(y = x^2 - (6x + 5)\) \(y = x^2 - 6x - 5\) Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\) \(y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 - 5 = 9 - 18 - 5 = -9 - 5 = -14\) Вершина параболы находится в точке \((3; -14)\). Случай 2: \(6x + 5 < 0\) Это означает, что \(6x < -5\), или \(x < -\frac{5}{6}\). В этом случае \(|6x + 5| = -(6x + 5) = -6x - 5\). Тогда функция принимает вид: \(y = x^2 - (-6x - 5)\) \(y = x^2 + 6x + 5\) Это также парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины этой параболы: \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3\) \(y_в = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -9 + 5 = -4\) Вершина параболы находится в точке \((-3; -4)\). Теперь найдем значение функции в точке "стыковки" графиков, то есть при \(x = -\frac{5}{6}\). Подставим \(x = -\frac{5}{6}\) в любую из двух формул (они должны дать одинаковый результат): \(y = \left(-\frac{5}{6}\right)^2 - 6 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) - 5 = \frac{25}{36} + 5 - 5 = \frac{25}{36}\) или \(y = \left(-\frac{5}{6}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) + 5 = \frac{25}{36} - 5 + 5 = \frac{25}{36}\) Точка "стыковки" графиков: \(\left(-\frac{5}{6}; \frac{25}{36}\right)\). Для построения графика нам нужны несколько точек для каждой ветви параболы. Для \(y = x^2 - 6x - 5\) при \(x \ge -\frac{5}{6}\): Вершина: \((3; -14)\) Точка стыковки: \(\left(-\frac{5}{6}; \frac{25}{36}\right) \approx (-0.83; 0.69)\) Возьмем несколько точек: При \(x = 0\), \(y = 0^2 - 6 \cdot 0 - 5 = -5\). Точка \((0; -5)\). При \(x = 1\), \(y = 1^2 - 6 \cdot 1 - 5 = 1 - 6 - 5 = -10\). Точка \((1; -10)\). При \(x = 2\), \(y = 2^2 - 6 \cdot 2 - 5 = 4 - 12 - 5 = -13\). Точка \((2; -13)\). При \(x = 4\), \(y = 4^2 - 6 \cdot 4 - 5 = 16 - 24 - 5 = -13\). Точка \((4; -13)\). При \(x = 5\), \(y = 5^2 - 6 \cdot 5 - 5 = 25 - 30 - 5 = -10\). Точка \((5; -10)\). При \(x = 6\), \(y = 6^2 - 6 \cdot 6 - 5 = 36 - 36 - 5 = -5\). Точка \((6; -5)\). Для \(y = x^2 + 6x + 5\) при \(x < -\frac{5}{6}\): Вершина: \((-3; -4)\) Точка стыковки: \(\left(-\frac{5}{6}; \frac{25}{36}\right) \approx (-0.83; 0.69)\) Возьмем несколько точек: При \(x = -1\), \(y = (-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0\). Точка \((-1; 0)\). (Эта точка не входит в область определения \(x < -\frac{5}{6}\), но близка к границе) При \(x = -2\), \(y = (-2)^2 + 6 \cdot (-2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3\). Точка \((-2; -3)\). При \(x = -4\), \(y = (-4)^2 + 6 \cdot (-4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3\). Точка \((-4; -3)\). При \(x = -5\), \(y = (-5)^2 + 6 \cdot (-5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0\). Точка \((-5; 0)\). При \(x = -6\), \(y = (-6)^2 + 6 \cdot (-6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5\). Точка \((-6; 5)\). График функции будет состоять из двух частей парабол. Левая часть: парабола \(y = x^2 + 6x + 5\) для \(x < -\frac{5}{6}\) с вершиной в \((-3; -4)\). Правая часть: парабола \(y = x^2 - 6x - 5\) для \(x \ge -\frac{5}{6}\) с вершиной в \((3; -14)\). Обе части соединяются в точке \(\left(-\frac{5}{6}; \frac{25}{36}\right)\). Теперь определим, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки. Прямая \(y = m\) - это горизонтальная прямая. Рассмотрим график: 1. Самая нижняя точка графика - это вершина правой параболы \((3; -14)\). Если \(m < -14\), то прямая \(y = m\) не пересекает график (0 точек). 2. Если \(m = -14\), прямая \(y = -14\) касается графика в одной точке (вершина \((3; -14)\)). (1 точка). 3. Если \(-14 < m < -4\), прямая \(y = m\) пересекает правую часть параболы в двух точках. Левая часть параболы находится выше \(y = -4\), поэтому она не пересекается. (2 точки). 4. Если \(m = -4\), прямая \(y = -4\) касается левой части параболы в вершине \((-3; -4)\) и пересекает правую часть параболы в двух точках. Итого 1 + 2 = 3 точки. Значит, \(m = -4\) - одно из искомых значений. 5. Если \(-4 < m < \frac{25}{36}\), прямая \(y = m\) пересекает левую часть параболы в двух точках и правую часть параболы в двух точках. Итого 2 + 2 = 4 точки. 6. Если \(m = \frac{25}{36}\), прямая \(y = \frac{25}{36}\) проходит через точку "стыковки" \(\left(-\frac{5}{6}; \frac{25}{36}\right)\). В этой точке графики соединяются. Кроме того, прямая \(y = \frac{25}{36}\) пересекает левую часть параболы в еще одной точке (поскольку вершина \((-3; -4)\) ниже) и правую часть параболы в еще одной точке (поскольку вершина \((3; -14)\) ниже). Таким образом, при \(m = \frac{25}{36}\) будет 3 точки пересечения: одна точка стыковки, одна точка на левой ветви и одна точка на правой ветви. Значит, \(m = \frac{25}{36}\) - второе искомое значение. 7. Если \(m > \frac{25}{36}\), прямая \(y = m\) пересекает левую часть параболы в двух точках и правую часть параболы в двух точках. Итого 4 точки. Итак, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = -4\) и при \(m = \frac{25}{36}\). Ответ: \(m = -4\), \(m = \frac{25}{36}\).