Решение задачи 22: столкновение брусков на наклонной плоскости

Задача 22. Брусок массой \(m_1 = 500\) г соскальзывает по наклонной плоскости с высоты \(h = 0,8\) м и сталкивается на горизонтальном участке с бруском массой \(m_2 = 300\) г, движущимся в ту же сторону со скоростью \(v_2 = 2\) м/с. Считая столкновение абсолютно неупругим, определите изменение кинетической энергии первого бруска в результате столкновения. Трением при движении пренебречь. Решение: Сначала запишем все известные величины и переведем их в систему СИ. Дано: Масса первого бруска \(m_1 = 500\) г \( = 0,5\) кг Высота \(h = 0,8\) м Масса второго бруска \(m_2 = 300\) г \( = 0,3\) кг Скорость второго бруска \(v_2 = 2\) м/с Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (или \(10\) м/с\(^2\), если не указано иное, но для точности возьмем \(9,8\)) Найти: Изменение кинетической энергии первого бруска \(\Delta E_{k1}\) Ход решения: 1. Определим скорость первого бруска \(v_1\) перед столкновением. Поскольку трением пренебрегаем, можно использовать закон сохранения механической энергии для первого бруска, соскальзывающего с наклонной плоскости. Потенциальная энергия в начале движения переходит в кинетическую энергию в конце наклонной плоскости (перед столкновением). \[m_1 g h = \frac{1}{2} m_1 v_1^2\] Отсюда выразим скорость \(v_1\): \[v_1^2 = 2 g h\] \[v_1 = \sqrt{2 g h}\] Подставим значения: \[v_1 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м}}\] \[v_1 = \sqrt{15,68 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v_1 \approx 3,96 \text{ м/с}\] 2. Определим скорость брусков после абсолютно неупругого столкновения. При абсолютно неупругом столкновении бруски движутся как единое целое с общей скоростью \(V\). Используем закон сохранения импульса. Пусть направление движения второго бруска и первого бруска после соскальзывания будет положительным. \[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V\] Выразим общую скорость \(V\): \[V = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}\] Подставим значения: \[V = \frac{0,5 \text{ кг} \cdot 3,96 \text{ м/с} + 0,3 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{0,5 \text{ кг} + 0,3 \text{ кг}}\] \[V = \frac{1,98 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 0,6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,8 \text{ кг}}\] \[V = \frac{2,58 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,8 \text{ кг}}\] \[V = 3,225 \text{ м/с}\] 3. Определим изменение кинетической энергии первого бруска. Изменение кинетической энергии первого бруска \(\Delta E_{k1}\) — это разность между его кинетической энергией после столкновения и кинетической энергией до столкновения. Кинетическая энергия первого бруска до столкновения: \[E_{k1, \text{до}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2\] \[E_{k1, \text{до}} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot (3,96 \text{ м/с})^2\] \[E_{k1, \text{до}} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot 15,6816 \text{ м}^2/\text{с}^2\] \[E_{k1, \text{до}} = 0,25 \text{ кг} \cdot 15,6816 \text{ м}^2/\text{с}^2\] \[E_{k1, \text{до}} = 3,9204 \text{ Дж}\] Кинетическая энергия первого бруска после столкновения (он движется с общей скоростью \(V\)): \[E_{k1, \text{после}} = \frac{1}{2} m_1 V^2\] \[E_{k1, \text{после}} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot (3,225 \text{ м/с})^2\] \[E_{k1, \text{после}} = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot 10,400625 \text{ м}^2/\text{с}^2\] \[E_{k1, \text{после}} = 0,25 \text{ кг} \cdot 10,400625 \text{ м}^2/\text{с}^2\] \[E_{k1, \text{после}} = 2,60015625 \text{ Дж}\] Изменение кинетической энергии первого бруска: \[\Delta E_{k1} = E_{k1, \text{после}} - E_{k1, \text{до}}\] \[\Delta E_{k1} = 2,60015625 \text{ Дж} - 3,9204 \text{ Дж}\] \[\Delta E_{k1} = -1,32024375 \text{ Дж}\] Округлим до сотых: \[\Delta E_{k1} \approx -1,32 \text{ Дж}\] Ответ: Изменение кинетической энергии первого бруска составляет примерно \(-1,32\) Дж. Знак минус означает, что кинетическая энергия первого бруска уменьшилась.