Вариант 4
Задача: Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку \(M_0(2; 3; -5)\) и параллельно прямой, заданной системой уравнений:
\[ \begin{cases} 3x - y + 2z - 7 = 0 \\ x + 3y - 2z + 3 = 0 \end{cases} \]Найдите расстояние от точки \(M_0\) до прямой.
Решение:
Часть 1: Составление канонического уравнения прямой.
Прямая, которую мы ищем, проходит через точку \(M_0(2; 3; -5)\) и параллельна заданной прямой. Это означает, что направляющий вектор искомой прямой будет совпадать с направляющим вектором заданной прямой.
Заданная прямая определяется как пересечение двух плоскостей:
\(\Pi_1: 3x - y + 2z - 7 = 0\)
\(\Pi_2: x + 3y - 2z + 3 = 0\)
Нормальные векторы этих плоскостей:
\(\vec{n_1} = (3; -1; 2)\)
\(\vec{n_2} = (1; 3; -2)\)
Направляющий вектор \(\vec{s}\) прямой, являющейся пересечением этих плоскостей, перпендикулярен обоим нормальным векторам. Следовательно, его можно найти как векторное произведение \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\):
\[ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} \] \[ \vec{s} = \vec{i} \cdot ((-1) \cdot (-2) - 2 \cdot 3) - \vec{j} \cdot (3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1) + \vec{k} \cdot (3 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) \] \[ \vec{s} = \vec{i} \cdot (2 - 6) - \vec{j} \cdot (-6 - 2) + \vec{k} \cdot (9 + 1) \] \[ \vec{s} = -4\vec{i} + 8\vec{j} + 10\vec{k} \]Таким образом, направляющий вектор искомой прямой \(\vec{s} = (-4; 8; 10)\). Для удобства можно взять пропорциональный вектор, например, разделив на 2:
\(\vec{s'} = (-2; 4; 5)\)
Теперь, имея точку \(M_0(2; 3; -5)\) и направляющий вектор \(\vec{s'} = (-2; 4; 5)\), мы можем записать каноническое уравнение прямой:
\[ \frac{x - x_0}{s_x} = \frac{y - y_0}{s_y} = \frac{z - z_0}{s_z} \] \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - (-5)}{5} \] \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 5}{5} \]Это каноническое уравнение искомой прямой.
Часть 2: Нахождение расстояния от точки \(M_0\) до заданной прямой.
Расстояние от точки \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) до прямой, заданной системой уравнений, можно найти по формуле:
\[ d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} \]где \(\vec{s}\) - направляющий вектор прямой, а \(M_1\) - любая точка на этой прямой.
Мы уже нашли направляющий вектор заданной прямой: \(\vec{s} = (-4; 8; 10)\) или \(\vec{s'} = (-2; 4; 5)\). Будем использовать \(\vec{s'} = (-2; 4; 5)\).
Теперь найдем любую точку \(M_1\) на заданной прямой. Для этого решим систему уравнений. Пусть, например, \(z = 0\):
\[ \begin{cases} 3x - y - 7 = 0 \\ x + 3y + 3 = 0 \end{cases} \]Из первого уравнения выразим \(y\): \(y = 3x - 7\).
Подставим во второе уравнение:
\(x + 3(3x - 7) + 3 = 0\)
\(x + 9x - 21 + 3 = 0\)
\(10x - 18 = 0\)
\(10x = 18\)
\(x = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}\)
Теперь найдем \(y\):
\(y = 3 \cdot \frac{9}{5} - 7 = \frac{27}{5} - \frac{35}{5} = -\frac{8}{5}\)
Итак, точка \(M_1 = (\frac{9}{5}; -\frac{8}{5}; 0)\).
Теперь найдем вектор \(\vec{M_1M_0}\):
\(M_0(2; 3; -5)\)
\(\vec{M_1M_0} = (x_0 - x_1; y_0 - y_1; z_0 - z_1)\)
\(\vec{M_1M_0} = (2 - \frac{9}{5}; 3 - (-\frac{8}{5}); -5 - 0)\)
\(\vec{M_1M_0} = (\frac{10 - 9}{5}; \frac{15 + 8}{5}; -5)\)
\(\vec{M_1M_0} = (\frac{1}{5}; \frac{23}{5}; -5)\)
Вычислим векторное произведение \(\vec{M_1M_0} \times \vec{s'}\):
\[ \vec{M_1M_0} \times \vec{s'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{1}{5} & \frac{23}{5} & -5 \\ -2 & 4 & 5 \end{vmatrix} \] \[ = \vec{i} \cdot (\frac{23}{5} \cdot 5 - (-5) \cdot 4) - \vec{j} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 5 - (-5) \cdot (-2)) + \vec{k} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 4 - \frac{23}{5} \cdot (-2)) \] \[ = \vec{i} \cdot (23 + 20) - \vec{j} \cdot (1 - 10) + \vec{k} \cdot (\frac{4}{5} + \frac{46}{5}) \] \[ = 43\vec{i} + 9\vec{j} + \frac{50}{5}\vec{k} \] \[ = 43\vec{i} + 9\vec{j} + 10\vec{k} \]Теперь найдем модуль этого вектора:
\[ |\vec{M_1M_0} \times \vec{s'}| = \sqrt{43^2 + 9^2 + 10^2} \] \[ = \sqrt{1849 + 81 + 100} = \sqrt{2030} \]Найдем модуль направляющего вектора \(\vec{s'} = (-2; 4; 5)\):
\[ |\vec{s'}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} \]Теперь вычислим расстояние \(d\):
\[ d = \frac{\sqrt{2030}}{\sqrt{45}} = \sqrt{\frac{2030}{45}} = \sqrt{\frac{406}{9}} = \frac{\sqrt{406}}{3} \]Ответ:
Каноническое уравнение прямой: \(\frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 5}{5}\)
Расстояние от точки \(M_0\) до прямой: \(d = \frac{\sqrt{406}}{3}\)