Контрольный тест №2
Вопрос 1
Общее решение дифференциального уравнения \(y'' = e^{-x} + \sqrt{x}\) имеет вид:
Решение:
Дано дифференциальное уравнение второго порядка: \(y'' = e^{-x} + \sqrt{x}\).
Чтобы найти общее решение, нужно дважды проинтегрировать правую часть по \(x\).
Сначала найдем первую производную \(y'\):
\[y' = \int (e^{-x} + \sqrt{x}) dx\] \[y' = \int e^{-x} dx + \int x^{1/2} dx\] \[y' = -e^{-x} + \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C_1\] \[y' = -e^{-x} + \frac{x^{3/2}}{3/2} + C_1\] \[y' = -e^{-x} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C_1\]Теперь найдем \(y\), проинтегрировав \(y'\):
\[y = \int \left(-e^{-x} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C_1\right) dx\] \[y = \int -e^{-x} dx + \int \frac{2}{3}x^{3/2} dx + \int C_1 dx\] \[y = -(-e^{-x}) + \frac{2}{3} \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + C_1 x + C_2\] \[y = e^{-x} + \frac{2}{3} \frac{x^{5/2}}{5/2} + C_1 x + C_2\] \[y = e^{-x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} + C_1 x + C_2\] \[y = e^{-x} + \frac{4}{15} x^{5/2} + C_1 x + C_2\]Запишем \(x^{5/2}\) как \(\sqrt{x^5}\):
\[y = e^{-x} + \frac{4}{15} \sqrt{x^5} + C_1 x + C_2\]Сравниваем с предложенными вариантами:
a. \(-e^{-x} + \frac{4}{15}\sqrt{x^5} + C_1x + C_2\)
b. \(e^{-x} + \frac{4}{15}\sqrt{x^5} + Cx\)
c. \(e^{-x} + \frac{4}{15}\sqrt{x^5} + C_1x + C_2\)
d. \(-e^{-x} + \frac{4}{15}\sqrt{x^5} + Cx\)
Правильный ответ: c. \(e^{-x} + \frac{4}{15}\sqrt{x^5} + C_1x + C_2\)
Вопрос 2
Общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка, \(xy'' - y' = x^3\) имеет вид:
Решение:
Дано дифференциальное уравнение: \(xy'' - y' = x^3\).
Это уравнение не содержит явно \(y\), поэтому можно понизить порядок, сделав замену \(p = y'\), тогда \(p' = y''\).
Подставляем в уравнение:
\[xp' - p = x^3\]Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно \(p\). Разделим все на \(x\) (предполагаем \(x \neq 0\)):
\[p' - \frac{1}{x}p = x^2\]Используем метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель \(\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = |x|^{-1} = \frac{1}{x}\) (для \(x > 0\)).
Умножим уравнение на \(\frac{1}{x}\):
\[\frac{1}{x}p' - \frac{1}{x^2}p = x\]Левая часть является производной произведения \(\left(\frac{1}{x}p\right)'\):
\[\left(\frac{1}{x}p\right)' = x\]Интегрируем обе части по \(x\):
\[\frac{1}{x}p = \int x dx\] \[\frac{1}{x}p = \frac{x^2}{2} + C_1\]Выражаем \(p\):
\[p = x\left(\frac{x^2}{2} + C_1\right)\] \[p = \frac{x^3}{2} + C_1 x\]Так как \(p = y'\), то:
\[y' = \frac{x^3}{2} + C_1 x\]Теперь интегрируем \(y'\) по \(x\), чтобы найти \(y\):
\[y = \int \left(\frac{x^3}{2} + C_1 x\right) dx\] \[y = \frac{1}{2} \int x^3 dx + C_1 \int x dx\] \[y = \frac{1}{2} \frac{x^4}{4} + C_1 \frac{x^2}{2} + C_2\] \[y = \frac{x^4}{8} + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2\]Обозначим \(\frac{C_1}{2}\) как новую константу \(C_3\). Тогда:
\[y = \frac{x^4}{8} + C_3 x^2 + C_2\]В предложенных вариантах константы могут быть обозначены по-разному. Важно, чтобы структура решения совпадала.
Сравниваем с предложенными вариантами:
a. \(\frac{x^4}{8} + Cx\)
b. \(\frac{x^4}{8} + C_1x^2 + C_2x\)
c. \(\frac{x^4}{8} + C_1x^2 + C_2\)
d. \(\frac{x^4}{8} + Cx^2\)
Наиболее подходящий вариант, учитывающий две произвольные константы, это c. \(\frac{x^4}{8} + C_1x^2 + C_2\). (В варианте d. используется одна константа, что не является общим решением для уравнения второго порядка).
Вопрос 3
Общее решение уравнения \(y'' + 4y = 0\) имеет вид:
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \(y'' + 4y = 0\).
Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 4 = 0\] \[k^2 = -4\] \[k = \pm\sqrt{-4}\] \[k = \pm 2i\]Корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными: \(k_1 = 0 + 2i\) и \(k_2 = 0 - 2i\). Здесь \(\alpha = 0\) и \(\beta = 2\).
Общее решение для такого случая имеет вид: \(y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\).
Подставляем \(\alpha = 0\) и \(\beta = 2\):
\[y = e^{0 \cdot x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))\] \[y = 1 \cdot (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))\] \[y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\]Сравниваем с предложенными вариантами:
a. \(y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\)
b. \(y = \sin 2x\)
c. \(y = C_1 + C_2 e^{-4x}\)
d. \(y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{2x}\)
Правильный ответ: a. \(y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\)
Вопрос 4
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' + 6y' + 9y = 0\). Найти его общее решение.
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \(y'' + 6y' + 9y = 0\).
Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 6k + 9 = 0\]Это квадратное уравнение. Можно заметить, что это полный квадрат: \((k+3)^2 = 0\).
Корни характеристического уравнения:
\[k+3 = 0\] \[k = -3\]Это кратный корень (кратности 2): \(k_1 = k_2 = -3\).
Общее решение для случая кратных действительных корней имеет вид: \(y = C_1 e^{kx} + C_2 x e^{kx}\).
Подставляем \(k = -3\):
\[y = C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x}\]Сравниваем с предложенными вариантами:
a. \(C_1 e^{6x} + C_2 e^{-6x}\)
b. \(C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}\)
c. \(C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x}\)
d. \(C_1 e^{3x} + C_2 x e^{-3x}\)
Правильный ответ: c. \(C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x}\)
Вопрос 5
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' - 10y' + 25y = 0\). Найти его общее решение.
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \(y'' - 10y' + 25y = 0\).
Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 - 10k + 25 = 0\]Это квадратное уравнение. Можно заметить, что это полный квадрат: \((k-5)^2 = 0\).
Корни характеристического уравнения:
\[k-5 = 0\] \[k = 5\]Это кратный корень (кратности 2): \(k_1 = k_2 = 5\).
Общее решение для случая кратных действительных корней имеет вид: \(y = C_1 e^{kx} + C_2 x e^{kx}\).
Подставляем \(k = 5\):
\[y = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}\]Сравниваем с предложенными вариантами:
a. \(C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}\)
b. \(C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x\)
c. \(C_1 e^{5x} + C_2 e^{-5x}\)
d. \(C_1 e^{-5x} + C_2 x e^{-5x}\)
Правильный ответ: a. \(C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}\)
Вопрос 6
Решение задачи Коши \(\begin{cases} y'' + 9y = 0, \\ y(0) = 0, \\ y'(0) = 3 \end{cases}\) имеет вид:
Решение:
Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения \(y'' + 9y = 0\).
Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 9 = 0\] \[k^2 = -9\] \[k = \pm\sqrt{-9}\] \[k = \pm 3i\]Корни комплексно-сопряженные: \(\alpha = 0\), \(\beta = 3\).
Общее решение: \(y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\).
Теперь используем начальные условия для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\).
Первое условие: \(y(0) = 0\).
\[y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 0\] \[C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 0\] \[C_1 = 0\]Теперь найдем производную общего решения \(y'(x)\):
\[y'(x) = \frac{d}{dx}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))\] \[y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x)\]Второе условие: \(y'(0) = 3\).
\[y'(0) = -3C_1 \sin(0) + 3C_2 \cos(0) = 3\] \[-3C_1 \cdot 0 + 3C_2 \cdot 1 = 3\] \[3C_2 = 3\] \[C_2 = 1\]Подставляем найденные значения \(C_1 = 0\) и \(C_2 = 1\) в общее решение:
\[y(x) = 0 \cdot \cos(3x) + 1 \cdot \sin(3x)\] \[y(x) = \sin(3x)\]Сравниваем с предложенными вариантами:
a. \(\cos 3x\)
b. \(\cos 3x + \sin 3x\)
c. \(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x\)
d. \(\sin 3x\)
Правильный ответ: d. \(\sin 3x\)
Вопрос 7
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' + 4y' - 5y = 0\). Найти его общее решение.
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \(y'' + 4y' - 5y = 0\).
Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 4k - 5 = 0\]Решаем квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или разложить на множители. Сумма корней \(-4\), произведение \(-5\). Корни: \(k_1 = 1\), \(k_2 = -5\).
Проверим: \(1 + (-5) = -4\), \(1 \cdot