Вопрос 1
Общее решение дифференциального уравнения \(y'' = e^{-x} + \sqrt{x}\) имеет вид:
Решение:
Дано дифференциальное уравнение второго порядка:
\[y'' = e^{-x} + \sqrt{x}\]Чтобы найти общее решение \(y\), нужно дважды проинтегрировать правую часть уравнения.
Шаг 1: Находим первую производную \(y'\)
Интегрируем \(y''\) по \(x\):
\[y' = \int (e^{-x} + \sqrt{x}) dx\] \[y' = \int e^{-x} dx + \int x^{1/2} dx\]Для \(\int e^{-x} dx\), используем замену \(u = -x\), тогда \(du = -dx\), или \(dx = -du\):
\[\int e^{-x} dx = \int e^u (-du) = - \int e^u du = -e^u + C_1 = -e^{-x} + C_1\]Для \(\int x^{1/2} dx\), используем правило \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):
\[\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}\]Таким образом, первая производная \(y'\) будет:
\[y' = -e^{-x} + \frac{2}{3} x^{3/2} + C_1\]Шаг 2: Находим функцию \(y\)
Интегрируем \(y'\) по \(x\):
\[y = \int \left(-e^{-x} + \frac{2}{3} x^{3/2} + C_1\right) dx\] \[y = \int -e^{-x} dx + \int \frac{2}{3} x^{3/2} dx + \int C_1 dx\]Для \(\int -e^{-x} dx\):
\[\int -e^{-x} dx = -(-e^{-x}) = e^{-x}\]Для \(\int \frac{2}{3} x^{3/2} dx\):
\[\int \frac{2}{3} x^{3/2} dx = \frac{2}{3} \int x^{3/2} dx = \frac{2}{3} \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = \frac{2}{3} \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} = \frac{4}{15} x^{5/2}\]Мы можем записать \(x^{5/2}\) как \(\sqrt{x^5}\).
Для \(\int C_1 dx\):
\[\int C_1 dx = C_1 x + C_2\]Собираем все части вместе:
\[y = e^{-x} + \frac{4}{15} x^{5/2} + C_1 x + C_2\]Или, используя обозначение с корнем:
\[y = e^{-x} + \frac{4}{15} \sqrt{x^5} + C_1 x + C_2\]Сравнение с вариантами ответа:
a. \(-e^{-x} + \frac{4}{15} \sqrt{x^5} + C_1 x + C_2\)
b. \(e^{-x} + \frac{4}{15} \sqrt{x^5} + Cx\)
c. \(e^{-x} + \frac{4}{15} \sqrt{x^5} + C_1 x + C_2\)
d. \(-e^{-x} + \frac{4}{15} \sqrt{x^5} + Cx\)
Наш результат совпадает с вариантом c.
Ответ: c. \(e^{-x} + \frac{4}{15} \sqrt{x^5} + C_1 x + C_2\)
Вопрос 2
Общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка, \(xy'' - y' = x^3\) имеет вид:
Решение:
Дано дифференциальное уравнение:
\[xy'' - y' = x^3\]Это уравнение второго порядка, не содержащее явно функцию \(y\). В таких случаях можно понизить порядок, сделав замену \(p = y'\), тогда \(p' = y''\).
Шаг 1: Понижаем порядок уравнения
Подставляем \(p = y'\) и \(p' = y''\) в исходное уравнение:
\[xp' - p = x^3\]Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно \(p\). Разделим обе части на \(x\) (при условии \(x \neq 0\)):
\[p' - \frac{1}{x} p = x^2\]Это уравнение имеет вид \(p' + Q(x)p = R(x)\), где \(Q(x) = -\frac{1}{x}\) и \(R(x) = x^2\).
Шаг 2: Находим интегрирующий множитель
Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) равен \(e^{\int Q(x) dx}\):
\[\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = |x|^{-1} = \frac{1}{|x|}\]Для простоты возьмем \(\mu(x) = \frac{1}{x}\) (предполагая \(x > 0\)).
Шаг 3: Решаем линейное уравнение для \(p\)
Умножаем обе части уравнения \(p' - \frac{1}{x} p = x^2\) на интегрирующий множитель \(\frac{1}{x}\):
\[\frac{1}{x} p' - \frac{1}{x^2} p = \frac{1}{x} x^2\] \[\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x} p\right) = x\]Интегрируем обе части по \(x\):
\[\frac{1}{x} p = \int x dx\] \[\frac{1}{x} p = \frac{x^2}{2} + C_1\]Выражаем \(p\):
\[p = x \left(\frac{x^2}{2} + C_1\right)\] \[p = \frac{x^3}{2} + C_1 x\]Шаг 4: Находим \(y\)
Вспоминаем, что \(p = y'\). Значит:
\[y' = \frac{x^3}{2} + C_1 x\]Интегрируем \(y'\) по \(x\), чтобы найти \(y\):
\[y = \int \left(\frac{x^3}{2} + C_1 x\right) dx\] \[y = \int \frac{x^3}{2} dx + \int C_1 x dx\] \[y = \frac{1}{2} \frac{x^4}{4} + C_1 \frac{x^2}{2} + C_2\] \[y = \frac{x^4}{8} + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2\]Поскольку \(\frac{C_1}{2}\) - это произвольная константа, мы можем обозначить ее как новую константу, например, \(C_3\). Однако, в вариантах ответа часто используют \(C_1\) для коэффициента при \(x^2\), что подразумевает, что \(C_1\) уже включает в себя \(\frac{1}{2}\).
Таким образом, общее решение имеет вид:
\[y = \frac{x^4}{8} + C_1 x^2 + C_2\]Сравнение с вариантами ответа:
a. \(\frac{x^4}{8} + Cx\)
b. \(\frac{x^4}{8} + C_1 x^2 + C_2 x\)
c. \(\frac{x^4}{8} + C_1 x^2 + C_2\)
d. \(\frac{x^4}{8} + Cx^2\)
Наш результат совпадает с вариантом c.
Ответ: c. \(\frac{x^4}{8} + C_1 x^2 + C_2\)