Вопрос 3
Общее решение уравнения \(y'' + 4y = 0\) имеет вид:
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
\[y'' + 4y = 0\]Для решения такого уравнения составляем характеристическое уравнение, заменяя \(y''\) на \(k^2\) и \(y\) на 1:
\[k^2 + 4 = 0\]Решаем это квадратное уравнение относительно \(k\):
\[k^2 = -4\] \[k = \pm \sqrt{-4}\] \[k = \pm 2i\]Мы получили две комплексно-сопряженные корни: \(k_1 = 2i\) и \(k_2 = -2i\).
В общем виде, если корни характеристического уравнения имеют вид \(k = \alpha \pm \beta i\), то общее решение дифференциального уравнения записывается как:
\[y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\]В нашем случае, \(\alpha = 0\) (так как нет действительной части) и \(\beta = 2\).
Подставляем эти значения в формулу:
\[y = e^{0 \cdot x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))\] \[y = 1 \cdot (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))\] \[y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\]Сравнение с вариантами ответа:
a. \(y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\)
b. \(y = \sin 2x\)
c. \(y = C_1 + C_2 e^{-4x}\)
d. \(y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{2x}\)
Наш результат совпадает с вариантом a.
Ответ: a. \(y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\)
Вопрос 4
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' + 6y' + 9y = 0\). Найти его общее решение.
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
\[y'' + 6y' + 9y = 0\]Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 6k + 9 = 0\]Это квадратное уравнение. Его можно решить с помощью дискриминанта или заметить, что это полный квадрат:
\[(k + 3)^2 = 0\]Отсюда получаем два одинаковых (кратных) корня:
\[k_1 = k_2 = -3\]В случае, когда характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня \(k_1 = k_2 = k\), общее решение дифференциального уравнения записывается как:
\[y = C_1 e^{kx} + C_2 x e^{kx}\]Подставляем \(k = -3\):
\[y = C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x}\]Сравнение с вариантами ответа:
a. \(C_1 e^{6x} + C_2 e^{-6x}\)
b. \(C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}\)
c. \(C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x}\)
d. \(C_1 e^{3x} + C_2 x e^{-3x}\)
Наш результат совпадает с вариантом c.
Ответ: c. \(C_1 e^{-3x} + C_2 x e^{-3x}\)
Вопрос 5
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' - 10y' + 25y = 0\). Найти его общее решение.
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
\[y'' - 10y' + 25y = 0\]Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 - 10k + 25 = 0\]Это квадратное уравнение. Замечаем, что это полный квадрат:
\[(k - 5)^2 = 0\]Отсюда получаем два одинаковых (кратных) корня:
\[k_1 = k_2 = 5\]В случае, когда характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня \(k_1 = k_2 = k\), общее решение дифференциального уравнения записывается как:
\[y = C_1 e^{kx} + C_2 x e^{kx}\]Подставляем \(k = 5\):
\[y = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}\]Сравнение с вариантами ответа:
a. \(C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}\)
b. \(C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x\)
c. \(C_1 e^{5x} + C_2 e^{-5x}\)
d. \(C_1 e^{-5x} + C_2 x e^{-5x}\)
Наш результат совпадает с вариантом a.
Ответ: a. \(C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x}\)