Вопрос 6
Решение задачи Коши:
\[\begin{cases} y'' + 9y = 0, \\ y(0) = 0, \\ y'(0) = 3 \end{cases}\]имеет вид:
Решение:
Шаг 1: Находим общее решение дифференциального уравнения
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
\[y'' + 9y = 0\]Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 9 = 0\]Решаем это квадратное уравнение относительно \(k\):
\[k^2 = -9\] \[k = \pm \sqrt{-9}\] \[k = \pm 3i\]Мы получили две комплексно-сопряженные корни: \(k_1 = 3i\) и \(k_2 = -3i\).
В общем виде, если корни характеристического уравнения имеют вид \(k = \alpha \pm \beta i\), то общее решение дифференциального уравнения записывается как:
\[y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\]В нашем случае, \(\alpha = 0\) (так как нет действительной части) и \(\beta = 3\).
Подставляем эти значения в формулу:
\[y(x) = e^{0 \cdot x} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))\] \[y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\]Шаг 2: Используем начальные условия для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\)
Первое начальное условие: \(y(0) = 0\)
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 0\) в общее решение:
\[0 = C_1 \cos(3 \cdot 0) + C_2 \sin(3 \cdot 0)\] \[0 = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)\]Так как \(\cos(0) = 1\) и \(\sin(0) = 0\):
\[0 = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0\] \[0 = C_1\]Итак, мы нашли \(C_1 = 0\).
Теперь найдем первую производную общего решения \(y'(x)\):
\[y'(x) = \frac{d}{dx} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))\] \[y'(x) = C_1 (-3 \sin(3x)) + C_2 (3 \cos(3x))\] \[y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x)\]Второе начальное условие: \(y'(0) = 3\)
Подставляем \(x = 0\) и \(y' = 3\) в выражение для \(y'(x)\):
\[3 = -3C_1 \sin(3 \cdot 0) + 3C_2 \cos(3 \cdot 0)\] \[3 = -3C_1 \sin(0) + 3C_2 \cos(0)\]Так как \(\sin(0) = 0\) и \(\cos(0) = 1\):
\[3 = -3C_1 \cdot 0 + 3C_2 \cdot 1\] \[3 = 3C_2\] \[C_2 = 1\]Шаг 3: Записываем частное решение
Подставляем найденные значения \(C_1 = 0\) и \(C_2 = 1\) в общее решение:
\[y(x) = 0 \cdot \cos(3x) + 1 \cdot \sin(3x)\] \[y(x) = \sin(3x)\]Сравнение с вариантами ответа:
a. \(\cos 3x\)
b. \(\cos 3x + \sin 3x\)
c. \(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x\)
d. \(\sin 3x\)
Наш результат совпадает с вариантом d.
Ответ: d. \(\sin 3x\)
Вопрос 7
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' + 4y' - 5y = 0\). Найти его общее решение.
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
\[y'' + 4y' - 5y = 0\]Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 4k - 5 = 0\]Решаем это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения \(k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) или разложить на множители.
Разложим на множители: ищем два числа, произведение которых равно -5, а сумма равна 4. Это числа 5 и -1.
\[(k + 5)(k - 1) = 0\]Отсюда получаем два различных действительных корня:
\[k_1 = -5\] \[k_2 = 1\]В случае, когда характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня \(k_1\) и \(k_2\), общее решение дифференциального уравнения записывается как:
\[y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x}\]Подставляем найденные корни:
\[y = C_1 e^{-5x} + C_2 e^{1x}\] \[y = C_1 e^{-5x} + C_2 e^{x}\]Или, если поменять порядок слагаемых:
\[y = C_2 e^{x} + C_1 e^{-5x}\]В вариантах ответа константы могут быть обозначены по-разному, главное, чтобы степени экспонент соответствовали корням.
Сравнение с вариантами ответа:
a. \(C_1 e^{-x} + C_2 e^{-5x}\)
b. \(C_1 e^{-x} + C_2 e^{5x}\)
c. \(C_1 e^{x} + C_2 e^{-5x}\)
d. \(C_1 e^{x} + C_2 e^{5x}\)
Наш результат \(y = C_1 e^{-5x} + C_2 e^{x}\) соответствует варианту c, если \(C_1\) в варианте c соответствует нашей \(C_2\), а \(C_2\) в варианте c соответствует нашей \(C_1\). Поскольку \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные константы, их порядок не имеет значения.
Ответ: c. \(C_1 e^{x} + C_2 e^{-5x}\)
Вопрос 8
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения \(y'' + 7y' + 10y = 0\) имеет вид:
Решение:
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
\[y'' + 7y' + 10y = 0\]Составляем характеристическое уравнение:
\[k^2 + 7k + 10 = 0\]Решаем это квадратное уравнение. Ищем два числа, произведение которых равно 10, а сумма равна 7. Это числа 2 и 5.
\[(k + 2)(k + 5) = 0\]Отсюда получаем два различных действительных корня:
\[k_1 = -2\] \[k_2 = -5\]В случае, когда характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня \(k_1\) и \(k_2\), общее решение дифференциального уравнения записывается как:
\[y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x}\]Подставляем найденные корни:
\[y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-5x}\]Сравнение с вариантами ответа:
a. \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{5x}\)
b. \(C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-5x}\)
c. \(C_1 e^{-2x} + C_2 e^{5x}\)
d. \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-5x}\)
Наш результат совпадает с вариантом b.
Ответ: b. \(C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-5x}\)