Вопрос 6
Решение задачи Коши:
\[ \begin{cases} y'' + 9y = 0, \\ y(0) = 0, \\ y'(0) = 3 \end{cases} \]1. Найдём общее решение однородного дифференциального уравнения \(y'' + 9y = 0\).
Составим характеристическое уравнение:
\[ \lambda^2 + 9 = 0 \] \[ \lambda^2 = -9 \] \[ \lambda = \pm\sqrt{-9} \] \[ \lambda = \pm 3i \]Корни характеристического уравнения комплексные: \(\lambda_1 = 3i\) и \(\lambda_2 = -3i\). В этом случае общее решение имеет вид:
\[ y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \]2. Используем начальные условия для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\).
Первое условие: \(y(0) = 0\).
Подставим \(x=0\) в общее решение:
\[ y(0) = C_1 \cos(3 \cdot 0) + C_2 \sin(3 \cdot 0) = 0 \] \[ C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 0 \] \[ C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 0 \] \[ C_1 = 0 \]Теперь найдём производную общего решения:
\[ y'(x) = \frac{d}{dx} (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \] \[ y'(x) = C_1 (-3 \sin(3x)) + C_2 (3 \cos(3x)) \] \[ y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x) \]Второе условие: \(y'(0) = 3\).
Подставим \(x=0\) и \(C_1 = 0\) в производную:
\[ y'(0) = -3 \cdot 0 \cdot \sin(3 \cdot 0) + 3C_2 \cos(3 \cdot 0) = 3 \] \[ 0 + 3C_2 \cos(0) = 3 \] \[ 3C_2 \cdot 1 = 3 \] \[ 3C_2 = 3 \] \[ C_2 = 1 \]3. Подставим найденные значения \(C_1 = 0\) и \(C_2 = 1\) в общее решение:
\[ y(x) = 0 \cdot \cos(3x) + 1 \cdot \sin(3x) \] \[ y(x) = \sin(3x) \]Таким образом, решение задачи Коши имеет вид \(\sin(3x)\).
Ответ: d. \(\sin 3x\)
Вопрос 7
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' + 4y' - 5y = 0\). Найти его общее решение.
1. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
\[ \lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0 \]2. Решим квадратное уравнение, чтобы найти корни \(\lambda\).
Используем формулу для корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]В нашем случае \(a=1\), \(b=4\), \(c=-5\).
\[ \lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ \lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ \lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ \lambda = \frac{-4 \pm 6}{2} \]Найдём два корня:
\[ \lambda_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ \lambda_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]3. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные (\(\lambda_1 = 1\) и \(\lambda_2 = -5\)), общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:
\[ y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \]Подставим найденные корни:
\[ y(x) = C_1 e^{1 \cdot x} + C_2 e^{-5 \cdot x} \] \[ y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-5x} \]Ответ: c. \(C_1 e^x + C_2 e^{-5x}\)
Вопрос 8
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения \(y'' + 7y' + 10y = 0\) имеет вид:
1. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
\[ \lambda^2 + 7\lambda + 10 = 0 \]2. Решим квадратное уравнение, чтобы найти корни \(\lambda\).
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
\[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]В нашем случае \(a=1\), \(b=7\), \(c=10\).
\[ \lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} \] \[ \lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} \] \[ \lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ \lambda = \frac{-7 \pm 3}{2} \]Найдём два корня:
\[ \lambda_1 = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ \lambda_2 = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]3. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные (\(\lambda_1 = -2\) и \(\lambda_2 = -5\)), общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:
\[ y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \]Подставим найденные корни:
\[ y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-5x} \]Ответ: b. \(C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-5x}\)