help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Решение задачи Коши y'' + 9y = 0 включает нахождение корней характеристического уравнения и общее решение вида y(x) = C₁cos(3x) + C₂sin(3x). Далее находятся константы C₁ и C₂ с использованием начальных условий.
Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Вопрос 6
Решение задачи Коши
\[
\begin{cases}
y'' + 9y = 0, \\
y(0) = 0, \\
y'(0) = 3
\end{cases}
\]
имеет вид:
Решение:
1. Запишем характеристическое уравнение для дифференциального уравнения \(y'' + 9y = 0\):
\(k^2 + 9 = 0\)
2. Найдем корни характеристического уравнения:
\(k^2 = -9\)
\(k = \pm\sqrt{-9}\)
\(k = \pm 3i\)
Корни комплексные: \(k_1 = 3i\), \(k_2 = -3i\). В этом случае \(\alpha = 0\) и \(\beta = 3\).
3. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
\(y(x) = C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)\)
Подставляем \(\beta = 3\):
\(y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)\)
4. Найдем первую производную общего решения:
\(y'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x)\)
5. Используем начальные условия для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\):
Из условия \(y(0) = 0\):
\(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 0\)
\(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 0\)
\(C_1 = 0\)
Из условия \(y'(0) = 3\):
\(-3C_1 \sin(0) + 3C_2 \cos(0) = 3\)
\(-3C_1 \cdot 0 + 3C_2 \cdot 1 = 3\)
\(3C_2 = 3\)
\(C_2 = 1\)
6. Подставим найденные значения \(C_1\) и \(C_2\) в общее решение:
\(y(x) = 0 \cdot \cos(3x) + 1 \cdot \sin(3x)\)
\(y(x) = \sin(3x)\)
Правильный ответ: d. \(\sin 3x\)
Вопрос 7
Дано линейное однородное дифференциальное уравнение
\(y'' + 4y' - 5y = 0\). Найти его общее решение.
Решение:
1. Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
\(k^2 + 4k - 5 = 0\)
2. Найдем корни характеристического уравнения. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или разложения на множители.
Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\)
\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)\)
\(D = 16 + 20\)
\(D = 36\)
Корни уравнения: \(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(k_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(k_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)
Корни действительные и различные: \(k_1 = 1\), \(k_2 = -5\).
3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с действительными и различными корнями характеристического уравнения имеет вид:
\(y(x) = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x}\)
Подставляем найденные корни:
\(y(x) = C_1 e^{1x} + C_2 e^{-5x}\)
\(y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-5x}\)
Правильный ответ: c. \(C_1 e^{x} + C_2 e^{-5x}\)
