Задача 090(980).
Вторичная обмотка трансформатора, имеющая 99 витков, пронизывается магнитным потоком, изменяющимся со временем по закону \( \Phi = 0,01 \sin 100\pi t \). Написать формулу зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени и найти действующее значение этой ЭДС.
Дано:
Число витков \( N = 99 \)
Закон изменения магнитного потока \( \Phi = 0,01 \sin 100\pi t \)
Найти:
Формулу зависимости ЭДС от времени \( \mathcal{E}(t) \)
Действующее значение ЭДС \( \mathcal{E}_{\text{действ}} \)
Решение:
1. Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея для обмотки с \( N \) витками:
\[ \mathcal{E} = -N \frac{d\Phi}{dt} \]
2. Подставим в эту формулу выражение для магнитного потока \( \Phi \):
\[ \mathcal{E} = -N \frac{d}{dt} (0,01 \sin 100\pi t) \]
3. Найдем производную по времени:
\[ \frac{d}{dt} (0,01 \sin 100\pi t) = 0,01 \cdot (100\pi) \cos 100\pi t = \pi \cos 100\pi t \]
4. Подставим полученную производную обратно в формулу для ЭДС:
\[ \mathcal{E} = -N (\pi \cos 100\pi t) \]
\[ \mathcal{E} = -99 \pi \cos 100\pi t \]
5. Для удобства можно заменить косинус на синус, используя тригонометрическое тождество \( -\cos x = \sin(x - \frac{\pi}{2}) \) или \( -\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2} + \pi) \). В электротехнике часто используют \( \sin(\omega t - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\omega t) \). Тогда:
\[ \mathcal{E} = 99 \pi \sin(100\pi t - \frac{\pi}{2}) \]
Или, если оставить в виде косинуса, что тоже является правильной формой:
\[ \mathcal{E}(t) = -99 \pi \cos 100\pi t \]
Это и есть формула зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени.
6. Найдем амплитудное значение ЭДС \( \mathcal{E}_m \). Из формулы \( \mathcal{E} = -99 \pi \cos 100\pi t \) видно, что максимальное значение ЭДС (амплитуда) равно:
\[ \mathcal{E}_m = 99 \pi \text{ В} \]
Вычислим численное значение:
\[ \mathcal{E}_m \approx 99 \cdot 3,14159 \approx 311,017 \text{ В} \]
7. Действующее значение ЭДС \( \mathcal{E}_{\text{действ}} \) для синусоидального (или косинусоидального) напряжения определяется как:
\[ \mathcal{E}_{\text{действ}} = \frac{\mathcal{E}_m}{\sqrt{2}} \]
8. Подставим значение \( \mathcal{E}_m \):
\[ \mathcal{E}_{\text{действ}} = \frac{99 \pi}{\sqrt{2}} \]
Вычислим численное значение:
\[ \mathcal{E}_{\text{действ}} \approx \frac{311,017}{1,41421} \approx 220 \text{ В} \]
Ответ:
Формула зависимости ЭДС во вторичной обмотке от времени: \( \mathcal{E}(t) = -99 \pi \cos 100\pi t \text{ В} \)
Действующее значение этой ЭДС: \( \mathcal{E}_{\text{действ}} = \frac{99 \pi}{\sqrt{2}} \approx 220 \text{ В} \)