Решение дифференциального уравнения y'' + 7y' + 10y = 0

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Вопрос 8

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения \(y'' + 7y' + 10y = 0\) имеет вид Решение: 1. Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: \(k^2 + 7k + 10 = 0\) 2. Найдем корни характеристического уравнения. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или разложения на множители. Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\) \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10\) \(D = 49 - 40\) \(D = 9\) Корни уравнения: \(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(k_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) \(k_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) Корни действительные и различные: \(k_1 = -2\), \(k_2 = -5\). 3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с действительными и различными корнями характеристического уравнения имеет вид: \(y(x) = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x}\) Подставляем найденные корни: \(y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-5x}\) Правильный ответ: b. \(C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-5x}\)

Вопрос 9

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение \(y'' + 5y' + 6y = 0\). Найти его общее решение. Решение: 1. Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: \(k^2 + 5k + 6 = 0\) 2. Найдем корни характеристического уравнения. Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\) \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6\) \(D = 25 - 24\) \(D = 1\) Корни уравнения: \(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(k_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) \(k_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Корни действительные и различные: \(k_1 = -2\), \(k_2 = -3\). 3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с действительными и различными корнями характеристического уравнения имеет вид: \(y(x) = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x}\) Подставляем найденные корни: \(y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}\) Обратите внимание, что порядок слагаемых не имеет значения, поэтому \(C_1 e^{-3x} + C_2 e^{-2x}\) также является правильным ответом. Правильный ответ: a. \(C_1 e^{-3x} + C_2 e^{-2x}\)