help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Общее решение дифференциального уравнения находится через характеристическое уравнение k^2 - 12k + 35 = 0. Корни уравнения k1 = 7 и k2 = 5, что позволяет записать общее решение.
Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Вопрос 10
Общее решение дифференциального уравнения \(y'' - 12y' + 35y = 0\) имеет вид
Решение:
1. Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
\(k^2 - 12k + 35 = 0\)
2. Найдем корни характеристического уравнения.
Используем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\)
\(D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35\)
\(D = 144 - 140\)
\(D = 4\)
Корни уравнения: \(k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(k_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\)
\(k_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
Корни действительные и различные: \(k_1 = 7\), \(k_2 = 5\).
3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с действительными и различными корнями характеристического уравнения имеет вид:
\(y(x) = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x}\)
Подставляем найденные корни:
\(y(x) = C_1 e^{7x} + C_2 e^{5x}\)
Обратите внимание, что порядок слагаемых не имеет значения, поэтому \(C_1 e^{5x} + C_2 e^{7x}\) также является правильным ответом.
Правильный ответ: a. \(y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{7x}\)
Вопрос 11
Определить тип дифференциального уравнения (д.у.):
\(y' - \frac{y}{x} = \text{tg}x\)
Решение:
Перепишем данное уравнение в стандартный вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:
\(y' + P(x)y = Q(x)\)
В нашем случае:
\(y' - \frac{1}{x}y = \text{tg}x\)
Здесь \(P(x) = -\frac{1}{x}\) и \(Q(x) = \text{tg}x\).
Поскольку \(Q(x)\) не равно нулю (т.е. \(\text{tg}x \neq 0\)), это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Среди предложенных вариантов:
a. однородное д.у. (это было бы, если бы \(Q(x) = 0\))
b. д.у. с разделяющимися переменными (нельзя разделить переменные так, чтобы получить \(f(y)dy = g(x)dx\))
c. линейное д.у. (это соответствует стандартному виду \(y' + P(x)y = Q(x)\))
d. д.у. типа Бернулли (уравнение Бернулли имеет вид \(y' + P(x)y = Q(x)y^n\), где \(n \neq 0, 1\). Наше уравнение не имеет \(y^n\) в правой части.)
Таким образом, данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Правильный ответ: c. линейное д.у.
