help_outlineУсловие задачи
lightbulbКраткий ответ
Уравнение y' - y/x = xe^(3x) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Представлено подробное решение для удобного переписывания.
Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Вопрос 12
Дифференциальное уравнение \(y' - \frac{y}{x} = xe^{3x}\) является
Решение:
Перепишем данное уравнение в стандартный вид линейного дифференциального уравнения первого порядка:
\(y' + P(x)y = Q(x)\)
В нашем случае:
\(y' + \left(-\frac{1}{x}\right)y = xe^{3x}\)
Здесь \(P(x) = -\frac{1}{x}\) и \(Q(x) = xe^{3x}\).
Поскольку \(Q(x)\) не равно нулю (т.е. \(xe^{3x} \neq 0\)), это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Среди предложенных вариантов:
a. в полных дифференциалах (для этого нужно проверить условие \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\) после приведения к виду \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\))
b. с разделяющимися переменными (нельзя разделить переменные так, чтобы получить \(f(y)dy = g(x)dx\))
c. однородное (это было бы, если бы \(Q(x) = 0\) или если бы уравнение можно было записать в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\))
d. линейное (это соответствует стандартному виду \(y' + P(x)y = Q(x)\))
Таким образом, данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Правильный ответ: d. линейное
Вопрос 13
Определить тип дифференциального уравнения:
\(y'x - y = x\text{tg}\frac{y}{x}\)
Решение:
Перепишем данное уравнение, выразив \(y'\):
\(y'x = y + x\text{tg}\frac{y}{x}\)
\(y' = \frac{y}{x} + \text{tg}\frac{y}{x}\)
Мы видим, что правая часть уравнения \(f(x,y) = \frac{y}{x} + \text{tg}\frac{y}{x}\) зависит только от отношения \(\frac{y}{x}\).
Уравнения вида \(y' = f(\frac{y}{x})\) называются однородными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Среди предложенных вариантов:
a. Линейное (не соответствует виду \(y' + P(x)y = Q(x)\) из-за \(\text{tg}\frac{y}{x}\))
b. Однородное (соответствует виду \(y' = f(\frac{y}{x})\))
c. с разделяющимися переменными (нельзя разделить переменные)
d. Бернулли (не соответствует виду \(y' + P(x)y = Q(x)y^n\))
e. в полных дифференциалах (не в стандартном виде для проверки)
Таким образом, данное уравнение является однородным.
Правильный ответ: b. Однородное
