Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Решение

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Вопрос 14

Общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: Решение: Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными - это уравнение, которое можно привести к виду, где все члены, содержащие \(y\) и \(dy\), находятся с одной стороны уравнения, а все члены, содержащие \(x\) и \(dx\), - с другой. Общий вид такого уравнения: \(f(y)dy = g(x)dx\) или, что эквивалентно, \(P(x)dx = Q(y)dy\) Рассмотрим предложенные варианты: a. \(y' + P(x)y = Q(x)\) - это общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка. b. \(y' = f\left(\frac{y}{x}\right)\) - это общий вид однородного дифференциального уравнения первого порядка. c. \(P(x)dx = Q(y)dy\) - это общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. d. \(y' + P(x)y = Q(x)y^n\) - это общий вид уравнения Бернулли. Правильный ответ: c. \(P(x)dx = Q(y)dy\)

Вопрос 15

Общим решением дифференциального уравнения \(xy' - y = 0\) является функция: Решение: 1. Перепишем данное дифференциальное уравнение: \(xy' - y = 0\) \(xy' = y\) 2. Заменим \(y'\) на \(\frac{dy}{dx}\): \(x\frac{dy}{dx} = y\) 3. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: \(\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\) (при условии \(y \neq 0\) и \(x \neq 0\)) 4. Проинтегрируем обе части уравнения: \(\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}\) \(\ln|y| = \ln|x| + \ln|C|\) (где \(\ln|C|\) - произвольная константа интегрирования) 5. Используем свойства логарифмов: \(\ln|y| = \ln|Cx|\) 6. Избавимся от логарифмов: \(|y| = |Cx|\) \(y = Cx\) Также стоит рассмотреть случаи \(y=0\) и \(x=0\). Если \(y=0\), то \(y'=0\), и \(x \cdot 0 - 0 = 0\), что является решением. Функция \(y=Cx\) включает \(y=0\) при \(C=0\). Если \(x=0\), то уравнение не определено. Правильный ответ: d. \(y = Cx\)