Решение задачи 24: Доказательство подобия треугольников CBD и BDA в трапеции

Решение задачи 24. Дано: трапеция \(ABCD\), основания \(BC = 4\), \(AD = 64\), диагональ \(BD = 16\). Доказать: треугольники \(CBD\) и \(BDA\) подобны. Доказательство: В трапеции \(ABCD\) основания \(BC\) и \(AD\) параллельны, то есть \(BC \parallel AD\). Рассмотрим треугольники \(CBD\) и \(BDA\). 1. Углы \(\angle CBD\) и \(\angle BDA\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\). Следовательно, \(\angle CBD = \angle BDA\). 2. Проверим отношение сторон, прилежащих к этим углам. Для треугольника \(CBD\) стороны, прилежащие к углу \(\angle CBD\), это \(BC\) и \(BD\). Для треугольника \(BDA\) стороны, прилежащие к углу \(\angle BDA\), это \(BD\) и \(AD\). Найдем отношение соответствующих сторон: \(\frac{BC}{BD} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\) \(\frac{BD}{AD} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}\) Мы видим, что \(\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}\). 3. Таким образом, у нас есть два треугольника \(CBD\) и \(BDA\), у которых: а) Один угол одного треугольника равен одному углу другого треугольника (\(\angle CBD = \angle BDA\)). б) Стороны, прилежащие к этим углам, пропорциональны. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольники \(CBD\) и \(BDA\) подобны. Что и требовалось доказать. *** Решение задачи 25. Дано: параллелограмм \(ABCD\), биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(K\). \(BC = 12\). Расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) равно 8. Найти: площадь параллелограмма \(ABCD\). Решение: 1. В параллелограмме сумма соседних углов равна 180 градусов. То есть \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). 2. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) делят эти углы пополам. Пусть \(AK\) - биссектриса \(\angle A\), а \(BK\) - биссектриса \(\angle B\). Тогда \(\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A\) и \(\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B\). 3. Рассмотрим треугольник \(ABK\). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. \(\angle AKB = 180^\circ - \angle KAB - \angle KBA = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle A - \frac{1}{2} \angle B\) \(\angle AKB = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B)\) Так как \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то \(\angle AKB = 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Значит, треугольник \(ABK\) - прямоугольный. 4. Расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) - это высота треугольника \(ABK\), опущенная из вершины \(K\) на сторону \(AB\). Обозначим эту высоту \(h_K\). По условию, \(h_K = 8\). 5. В параллелограмме \(ABCD\), \(AD \parallel BC\). Также \(AB \parallel CD\). Поскольку \(AK\) - биссектриса \(\angle A\), то \(\angle DAK = \angle KAB\). Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle DAK = \angle AKB'\) (где \(B'\) - точка на \(BC\), если продолжить \(AK\)). Также \(\angle DAK = \angle AKD\) (как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AK\)). Значит, \(\angle KAD = \angle AKD\), и треугольник \(ADK\) - равнобедренный с \(AD = DK\). Аналогично, для биссектрисы \(BK\): \(\angle CBK = \angle KBA\). Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle CBK = \angle BKA'\) (где \(A'\) - точка на \(AD\), если продолжить \(BK\)). Также \(\angle CBK = \angle BKC\) (как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\) и секущей \(BK\)). Значит, \(\angle KBC = \angle BKC\), и треугольник \(BCK\) - равнобедренный с \(BC = CK\). 6. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AD = BC = 12\). Из равнобедренного треугольника \(ADK\) следует \(AD = DK = 12\). Из равнобедренного треугольника \(BCK\) следует \(BC = CK = 12\). Тогда сторона \(CD = CK + KD = 12 + 12 = 24\). Но это неверно, так как \(CD\) - это сторона параллелограмма, и \(CD = AB\). Ошибка в рассуждении: точка \(K\) находится внутри параллелограмма. Рассмотрим биссектрису \(AK\). \(\angle DAK = \angle KAB\). Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle DAK = \angle AKB'\) (накрест лежащие углы при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AK\)). Но \(\angle KAB\) и \(\angle AKD\) - это накрест лежащие углы при \(AD \parallel BC\) и секущей \(AK\). Значит, \(\angle KAB = \angle AKD\). Поскольку \(AK\) - биссектриса, \(\angle DAK = \angle KAB\). Следовательно, \(\angle DAK = \angle AKD\). Это означает, что треугольник \(ADK\) - равнобедренный с основанием \(AK\), то есть \(AD = DK\). Аналогично, для биссектрисы \(BK\): \(\angle CBK = \angle KBA\). \(\angle KBA = \angle BKC\) (накрест лежащие углы при \(AD \parallel BC\) и секущей \(BK\)). Следовательно, \(\angle CBK = \angle BKC\). Это означает, что треугольник \(BCK\) - равнобедренный с основанием \(BK\), то есть \(BC = CK\). 7. Мы знаем, что \(AD = BC = 12\). Тогда \(DK = AD = 12\). И \(CK = BC = 12\). Сторона \(CD\) параллелограмма равна \(AB\). Точка \(K\) лежит на отрезке \(CD\). Тогда \(CD = DK + KC = 12 + 12 = 24\). Значит, \(AB = 24\). 8. Площадь параллелограмма можно найти по формуле \(S = a \cdot h_a\), где \(a\) - длина стороны, а \(h_a\) - высота, опущенная на эту сторону. В нашем случае, сторона \(AB = 24\). Высота параллелограмма, опущенная на сторону \(AB\), равна расстоянию между параллельными прямыми \(AB\) и \(CD\). Мы знаем, что расстояние от точки \(K\) до стороны \(AB\) равно 8. Поскольку \(K\) лежит на стороне \(CD\), то расстояние от \(K\) до \(AB\) - это и есть высота параллелограмма. То есть, высота \(h = 8\). 9. Площадь параллелограмма \(ABCD\): \(S = AB \cdot h = 24 \cdot 8 = 192\). Ответ: 192.