Решение задачи: Эллипс с фокусами на оси абсцисс

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вариант 4 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его фокусами \(2c = 6\) и эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{3}{5}\). Решение: Общее уравнение эллипса с фокусами на оси абсцисс, симметричного относительно начала координат, имеет вид: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Нам дано: Расстояние между фокусами \(2c = 6\). Отсюда \(c = \frac{6}{2} = 3\). Эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{3}{5}\). Формула для эксцентриситета эллипса: \(\varepsilon = \frac{c}{a}\). Подставим известные значения: \[ \frac{3}{5} = \frac{3}{a} \] Отсюда \(a = 5\). Теперь найдем \(b^2\). Для эллипса справедливо соотношение \(a^2 = b^2 + c^2\). \[ b^2 = a^2 - c^2 \] Подставим значения \(a = 5\) и \(c = 3\): \[ b^2 = 5^2 - 3^2 \] \[ b^2 = 25 - 9 \] \[ b^2 = 16 \] Теперь подставим значения \(a^2 = 25\) и \(b^2 = 16\) в общее уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Ответ: Уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\). 2. Дан эллипс \(x^2 + 4y^2 = 1\). Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис. Решение: Приведем данное уравнение эллипса к каноническому виду \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). У нас есть \(x^2 + 4y^2 = 1\). Это можно записать как: \[ \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 \] Отсюда: \(a^2 = 1 \Rightarrow a = \sqrt{1} = 1\) (большая полуось) \(b^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow b = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\) (малая полуось) 1) Полуоси: Большая полуось \(a = 1\). Малая полуось \(b = \frac{1}{2}\). 2) Фокусы: Для эллипса справедливо соотношение \(c^2 = a^2 - b^2\). \[ c^2 = 1 - \frac{1}{4} \] \[ c^2 = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \] \[ c^2 = \frac{3}{4} \] \[ c = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Фокусы эллипса, расположенные на оси абсцисс, имеют координаты \(F_1(-c, 0)\) и \(F_2(c, 0)\). \[ F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] \[ F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] 3) Эксцентриситет: Формула для эксцентриситета \(\varepsilon = \frac{c}{a}\). \[ \varepsilon = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} \] \[ \varepsilon = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 4) Уравнения директрис: Уравнения директрис для эллипса с фокусами на оси абсцисс: \(x = \pm \frac{a}{\varepsilon}\). \[ x = \pm \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Ответ: 1) Полуоси: \(a = 1\), \(b = \frac{1}{2}\). 2) Фокусы: \(F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), \(F_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)\). 3) Эксцентриситет: \(\varepsilon = \frac{\sqrt{3}}{2}\). 4) Уравнения директрис: \(x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\). 3. Составить уравнение эллипса, если \(a = \sqrt{5}\); \(c = \sqrt{3}\). Решение: Общее уравнение эллипса с фокусами на оси абсцисс, симметричного относительно начала координат, имеет вид: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Нам дано: Большая полуось \(a = \sqrt{5}\). Отсюда \(a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5\). Расстояние от центра до фокуса \(c = \sqrt{3}\). Отсюда \(c^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\). Для эллипса справедливо соотношение \(a^2 = b^2 + c^2\). Найдем \(b^2\): \[ b^2 = a^2 - c^2 \] \[ b^2 = 5 - 3 \] \[ b^2 = 2 \] Теперь подставим значения \(a^2 = 5\) и \(b^2 = 2\) в общее уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{2} = 1 \] Ответ: Уравнение эллипса: \(\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{2} = 1\).