Решение задачи планирования производства (Вариант 3)

Хорошо, давайте решим эту задачу.

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Задача планирования производства

Вариант № 003

Компания планирует начать производство трех видов дорогостоящей продукции - изделий А, Б и В. Данные о затратах и доходах приведены в таблице 1.

Таблица 1. Данные о затратах и доходах

Изделия	Планируемая цена (тыс. руб. за единицу)		Переменные затраты на производство (тыс. руб. за единицу)	Фиксированные затраты (тыс. руб.)
	А	Б
А	13		5	2000
Б	15		9	1700
В	19		11	1400

Компания заключила контракты на поставку 150 штук изделий В и 350 штук изделий А, и руководство заинтересовано в обязательном выполнении этих контрактов. Анализ рынка, проведенный отделом маркетинга компании, свидетельствует, что не подготовленный рекламной экспансией рынок может «поглотить» не более 180 штук изделий Б. Определить план производства, при котором компания достигает а) максимум выручки, б) минимум затрат. Требуется: 1. Составить математические модели нахождения планов производства при критериях а) максимума выручки, б) минимума затрат. 2. Показать решение полученных моделей в среде Excel, используя "Поиск решений". ---

Решение задачи

1. Составление математических моделей

Обозначим количество произведенных изделий: \(x_A\) – количество изделий А \(x_Б\) – количество изделий Б \(x_В\) – количество изделий В

Ограничения:

1. Обязательное выполнение контрактов: * По изделию А: \(x_A \ge 350\) * По изделию В: \(x_В \ge 150\) 2. Ограничение рынка по изделию Б: * \(x_Б \le 180\) 3. Неотрицательность производства: * \(x_A \ge 0\) * \(x_Б \ge 0\) * \(x_В \ge 0\) (Эти ограничения уже учтены в первых двух пунктах, так как количество не может быть отрицательным).

Данные из таблицы:

* Цена изделия А: 13 тыс. руб. * Цена изделия Б: 15 тыс. руб. * Цена изделия В: 19 тыс. руб. * Переменные затраты на изделие А: 5 тыс. руб. * Переменные затраты на изделие Б: 9 тыс. руб. * Переменные затраты на изделие В: 11 тыс. руб. * Фиксированные затраты: * Для А: 2000 тыс. руб. * Для Б: 1700 тыс. руб. * Для В: 1400 тыс. руб.

а) Модель для максимизации выручки

Целевая функция (максимизация выручки): Выручка от продажи каждого изделия равна его цене. \[ F_{выручка} = 13x_A + 15x_Б + 19x_В \to \max \] Ограничения: \[ x_A \ge 350 \] \[ x_Б \le 180 \] \[ x_В \ge 150 \] \[ x_A \ge 0, x_Б \ge 0, x_В \ge 0 \]

б) Модель для минимизации затрат

Целевая функция (минимизация затрат): Общие затраты состоят из переменных и фиксированных затрат. Переменные затраты на производство: * Для А: \(5x_A\) * Для Б: \(9x_Б\) * Для В: \(11x_В\) Общие переменные затраты: \(5x_A + 9x_Б + 11x_В\) Общие фиксированные затраты: \(2000 + 1700 + 1400 = 5100\) тыс. руб. (Предполагается, что фиксированные затраты возникают при производстве любого количества соответствующего изделия). \[ F_{затраты} = 5x_A + 9x_Б + 11x_В + 5100 \to \min \] Ограничения: \[ x_A \ge 350 \] \[ x_Б \le 180 \] \[ x_В \ge 150 \] \[ x_A \ge 0, x_Б \ge 0, x_В \ge 0 \] ---

2. Решение полученных моделей в среде Excel, используя "Поиск решений"

Для решения в Excel необходимо выполнить следующие шаги: 1. Подготовка таблицы в Excel: * Создайте ячейки для переменных \(x_A, x_Б, x_В\). Изначально установите их значения равными 0. * Создайте ячейки для коэффициентов целевой функции (цены для выручки, переменные затраты для затрат). * Создайте ячейку для целевой функции, которая будет рассчитываться по формуле. * Создайте ячейки для левых и правых частей ограничений. 2. Использование "Поиска решений" (Solver): * Перейдите на вкладку "Данные" (Data). * Нажмите "Поиск решения" (Solver) в группе "Анализ" (Analyze). Если "Поиск решения" отсутствует, его нужно включить через "Файл" -> "Параметры" -> "Надстройки" -> "Надстройки Excel" -> "Перейти..." -> поставить галочку напротив "Поиск решения".

а) Решение для максимизации выручки

Настройка "Поиска решений": * Установить целевую ячейку: Ячейка, содержащая формулу для выручки (например, `=13*B1+15*B2+19*B3`, где B1, B2, B3 - ячейки для \(x_A, x_Б, x_В\)). * Оптимизировать: "Максимум" (Max). * Изменяя ячейки переменных: Укажите диапазон ячеек для \(x_A, x_Б, x_В\). * Ограничения: * Ячейка для \(x_A\) >= 350 * Ячейка для \(x_Б\) <= 180 * Ячейка для \(x_В\) >= 150 * Установите галочку "Сделать переменные без ограничений неотрицательными" (Make Unconstrained Variables Non-Negative). * Метод решения: "Симплекс-метод LP" (Simplex LP). * Нажмите "Найти решение" (Solve). Примерная структура таблицы Excel для максимизации выручки: | Ячейка | Описание | Значение/Формула | |---|---|---| | A1 | \(x_A\) | 350 (начальное значение) | | A2 | \(x_Б\) | 0 (начальное значение) | | A3 | \(x_В\) | 150 (начальное значение) | | B1 | Цена А | 13 | | B2 | Цена Б | 15 | | B3 | Цена В | 19 | | C1 | Выручка | `=B1*A1+B2*A2+B3*A3` | | D1 | Ограничение \(x_A\) | `=A1` | | E1 | Правая часть \(x_A\) | 350 | | D2 | Ограничение \(x_Б\) | `=A2` | | E2 | Правая часть \(x_Б\) | 180 | | D3 | Ограничение \(x_В\) | `=A3` | | E3 | Правая часть \(x_В\) | 150 | После запуска "Поиска решений" Excel выдаст оптимальные значения \(x_A, x_Б, x_В\) и максимальную выручку. Ожидаемый результат для максимизации выручки: Чтобы максимизировать выручку, нужно произвести как можно больше каждого изделия, учитывая ограничения. * \(x_A\) будет равен минимально допустимому значению: 350 * \(x_Б\) будет равен максимально допустимому значению: 180 * \(x_В\) будет равен минимально допустимому значению: 150 Таким образом, оптимальный план производства для максимизации выручки: * \(x_A = 350\) штук * \(x_Б = 180\) штук * \(x_В = 150\) штук Максимальная выручка: \(13 \times 350 + 15 \times 180 + 19 \times 150 = 4550 + 2700 + 2850 = 10100\) тыс. руб.

б) Решение для минимизации затрат

Настройка "Поиска решений": * Установить целевую ячейку: Ячейка, содержащая формулу для общих затрат (например, `=5*B1+9*B2+11*B3+5100`, где B1, B2, B3 - ячейки для \(x_A, x_Б, x_В\)). * Оптимизировать: "Минимум" (Min). * Изменяя ячейки переменных: Укажите диапазон ячеек для \(x_A, x_Б, x_В\). * Ограничения: * Ячейка для \(x_A\) >= 350 * Ячейка для \(x_Б\) <= 180 * Ячейка для \(x_В\) >= 150 * Установите галочку "Сделать переменные без ограничений неотрицательными" (Make Unconstrained Variables Non-Negative). * Метод решения: "Симплекс-метод LP" (Simplex LP). * Нажмите "Найти решение" (Solve). Примерная структура таблицы Excel для минимизации затрат: | Ячейка | Описание | Значение/Формула | |---|---|---| | A1 | \(x_A\) | 350 (начальное значение) | | A2 | \(x_Б\) | 0 (начальное значение) | | A3 | \(x_В\) | 150 (начальное значение) | | B1 | Переменные затраты А | 5 | | B2 | Переменные затраты Б | 9 | | B3 | Переменные затраты В | 11 | | C1 | Фиксированные затраты | 5100 | | C2 | Общие затраты | `=B1*A1+B2*A2+B3*A3+C1` | | D1 | Ограничение \(x_A\) | `=A1` | | E1 | Правая часть \(x_A\) | 350 | | D2 | Ограничение \(x_Б\) | `=A2` | | E2 | Правая часть \(x_Б\) | 180 | | D3 | Ограничение \(x_В\) | `=A3` | | E3 | Правая часть \(x_В\) | 150 | После запуска "Поиска решений" Excel выдаст оптимальные значения \(x_A, x_Б, x_В\) и минимальные затраты. Ожидаемый результат для минимизации затрат: Чтобы минимизировать затраты, нужно произвести минимально возможное количество каждого изделия, учитывая ограничения. * \(x_A\) будет равен минимально допустимому значению: 350 * \(x_Б\) будет равен минимально допустимому значению: 0 (так как нет нижнего ограничения, кроме неотрицательности, и производство этого изделия увеличивает затраты) * \(x_В\) будет равен минимально допустимому значению: 150 Таким образом, оптимальный план производства для минимизации затрат: * \(x_A = 350\) штук * \(x_Б = 0\) штук * \(x_В = 150\) штук Минимальные затраты: \(5 \times 350 + 9 \times 0 + 11 \times 150 + 5100 = 1750 + 0 + 1650 + 5100 = 8500\) тыс. руб. --- Вывод: * Для достижения максимальной выручки компании следует произвести 350 изделий А, 180 изделий Б и 150 изделий В. Максимальная выручка составит 10100 тыс. руб. * Для минимизации затрат компании следует произвести 350 изделий А, 0 изделий Б и 150 изделий В. Минимальные затраты составят 8500 тыс. руб. Обратите внимание, что в данной задаче фиксированные затраты не зависят от объема производства, а просто добавляются к общим затратам, если производство осуществляется. В случае, если бы фиксированные затраты возникали только при производстве ненулевого количества соответствующего изделия, модель была бы сложнее (с использованием бинарных переменных), но в данном контексте это не требуется.