Решение задачи №5: Определение координат центра тяжести составной фигуры

Задача №5. Определение координат центра тяжести составной фигуры. Для решения задачи разобьем сложную фигуру на две простые: прямоугольник (фигура 1) и прямоугольную трапецию (фигура 2). 1. Анализ фигуры 1 (прямоугольник): Основание прямоугольника равно 2, высота равна 5. Координаты центра тяжести прямоугольника \( (x_1; y_1) \) находятся в его геометрическом центре: \[ x_1 = 2 + \frac{2}{2} = 3 \] \[ y_1 = \frac{5}{2} = 2,5 \] Площадь прямоугольника \( A_1 \): \[ A_1 = 2 \cdot 5 = 10 \] 2. Анализ фигуры 2 (трапеция): Основание трапеции лежит на линии \( y = 5 \). Ширина основания равна \( 2 + 2 + 2 = 6 \). Высота левой стороны равна 3, высота правой стороны равна 0 (фигура сужается в точку). Таким образом, это прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 и 3. Координаты центра тяжести треугольника \( (x_2; y_2) \): По оси \( x \) (отсчитываем от начала координат): \[ x_2 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \] По оси \( y \) (отсчитываем от основания \( y = 5 \)): \[ y_2 = 5 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 5 + 1 = 6 \] Площадь треугольника \( A_2 \): \[ A_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \] 3. Определение координат центра тяжести всей фигуры \( (X_c; Y_c) \): Используем формулы для составных фигур: \[ X_c = \frac{x_1 \cdot A_1 + x_2 \cdot A_2}{A_1 + A_2} \] \[ Y_c = \frac{y_1 \cdot A_1 + y_2 \cdot A_2}{A_1 + A_2} \] Подставляем значения для \( X_c \): \[ X_c = \frac{3 \cdot 10 + 2 \cdot 9}{10 + 9} = \frac{30 + 18}{19} = \frac{48}{19} \approx 2,53 \] Подставляем значения для \( Y_c \): \[ Y_c = \frac{2,5 \cdot 10 + 6 \cdot 9}{10 + 9} = \frac{25 + 54}{19} = \frac{79}{19} \approx 4,16 \] Ответ: Координаты центра тяжести фигуры \( X_c \approx 2,53 \), \( Y_c \approx 4,16 \).