Решение уравнения (x-1)/(5x+11) = (x-1)/(3x-7)

Задание 6. Простейшие уравнения 1. Решите уравнение \(\frac{x-1}{5x+11} = \frac{x-1}{3x-7}\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней. Решение: Перенесем всё в одну сторону: \[\frac{x-1}{5x+11} - \frac{x-1}{3x-7} = 0\] Вынесем общий множитель \((x-1)\) за скобки: \[(x-1) \cdot \left( \frac{1}{5x+11} - \frac{1}{3x-7} \right) = 0\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \(x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1\) 2) \(\frac{1}{5x+11} - \frac{1}{3x-7} = 0 \Rightarrow \frac{1}{5x+11} = \frac{1}{3x-7}\) Отсюда: \(5x + 11 = 3x - 7\) \(5x - 3x = -7 - 11\) \(2x = -18 \Rightarrow x_2 = -9\) Проверка знаменателей: при \(x=1\) и \(x=-9\) знаменатели не равны нулю. Больший корень: \(1\). Ответ: 1. 2. Найдите корень уравнения \(7^{6-5x} = 49\). Решение: Представим 49 как степень семерки: \[7^{6-5x} = 7^2\] Так как основания равны, приравниваем показатели: \[6 - 5x = 2\] \[-5x = 2 - 6\] \[-5x = -4\] \[x = \frac{-4}{-5} = 0,8\] Ответ: 0,8. 3. Найдите корень уравнения \(\sqrt{34-3x} = x-2\). Решение: Возведем обе части в квадрат при условии \(x-2 \ge 0\) (т.е. \(x \ge 2\)): \[34 - 3x = (x-2)^2\] \[34 - 3x = x^2 - 4x + 4\] \[x^2 - x - 30 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -5\). Проверка условия \(x \ge 2\): корень \(-5\) не подходит. Ответ: 6. 4. Решите уравнение \(\log_5(x^2+2x) = \log_5(x^2+10)\). Решение: Приравниваем аргументы логарифмов: \[x^2 + 2x = x^2 + 10\] \[2x = 10\] \[x = 5\] Проверка ОДЗ: \(5^2 + 2 \cdot 5 = 35 > 0\) и \(5^2 + 10 = 35 > 0\). Корень подходит. Ответ: 5. 5. Найдите корень уравнения \((x+3)^3 = -8\). Решение: Извлечем кубический корень из обеих частей: \[x + 3 = \sqrt[3]{-8}\] \[x + 3 = -2\] \[x = -2 - 3\] \[x = -5\] Ответ: -5. 7. Найдите корень уравнения \(\frac{1}{2x+5} = \frac{1}{3x-5}\). Решение: Так как числители равны, должны быть равны и знаменатели: \[2x + 5 = 3x - 5\] \[2x - 3x = -5 - 5\] \[-x = -10\] \[x = 10\] Ответ: 10. 8. Найдите корень уравнения \(\log_4(x+3) = \log_4(4x-15)\). Решение: Приравниваем аргументы: \[x + 3 = 4x - 15\] \[x - 4x = -15 - 3\] \[-3x = -18\] \[x = 6\] Проверка ОДЗ: \(6+3=9>0\), \(4 \cdot 6 - 15 = 9 > 0\). Корень подходит. Ответ: 6. 9. Решите уравнение \(\sqrt{\frac{1}{15-4x}} = 0,2\). Решение: Возведем в квадрат: \[\frac{1}{15-4x} = 0,04\] Представим 0,04 как дробь: \(0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}\). \[\frac{1}{15-4x} = \frac{1}{25}\] \[15 - 4x = 25\] \[-4x = 25 - 15\] \[-4x = 10\] \[x = -2,5\] Ответ: -2,5. 10. Найдите корень уравнения \(\frac{8}{9}x = 18\frac{2}{3}\). Решение: Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(18\frac{2}{3} = \frac{18 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{56}{3}\). \[\frac{8}{9}x = \frac{56}{3}\] Разделим обе части на \(\frac{8}{9}\): \[x = \frac{56}{3} \cdot \frac{9}{8}\] Сократим 56 и 8 на 8, а 9 и 3 на 3: \[x = 7 \cdot 3 = 21\] Ответ: 21.