Решение дифференциального уравнения y'' - 8y' + 20y = 0

Задание 2. Решить дифференциальное уравнение: \[ y'' - 8y' + 20y = 0 \] Решение: Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. 1. Составим характеристическое уравнение, заменив \( y'' \) на \( k^2 \), \( y' \) на \( k \), а \( y \) на 1: \[ k^2 - 8k + 20 = 0 \] 2. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16 \] Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения будут комплексными. Вычислим их: \[ \sqrt{D} = \sqrt{-16} = 4i \] \[ k_{1,2} = \frac{-(-8) \pm 4i}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4i}{2} \] \[ k_1 = 4 + 2i, \quad k_2 = 4 - 2i \] 3. Корни имеют вид \( k = \alpha \pm \beta i \), где \( \alpha = 4 \) и \( \beta = 2 \). Для случая комплексных корней общее решение дифференциального уравнения записывается по формуле: \[ y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \] 4. Подставим наши значения \( \alpha \) и \( \beta \): \[ y = e^{4x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \] Ответ: \( y = e^{4x} (C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \), где \( C_1, C_2 \) — произвольные постоянные.