Решение задачи по электротехнике с применением метода узлового напряжения

Ниже представлено уточненное решение задачи на основании присланной схемы. Задача 1 Дано: \(E_2 = 100\) В, \(E_3 = 90\) В, \(E_4 = 110\) В \(R_{02} = 4\) Ом, \(R_{03} = 4\) Ом, \(R_{05} = 6\) Ом, \(R_{04} = 5\) Ом \(R_7 = 8\) Ом, \(R_8 = 8\) Ом Разомкнуты выключатели \(B_1, B_6\). 1. Рабочая схема При разомкнутых \(B_1\) и \(B_6\) ветви с \(E_1\) и \(R_6\) исключаются. Остается сложная цепь с двумя узлами (верхний и нижний). Ветвь 5 содержит только резистор \(R_{05}\). Ветвь 3 содержит \(E_3, R_{03}, R_7\). Ветвь 2 содержит \(E_2, R_{02}\). Ветвь 4 содержит \(E_4, R_{04}, R_8\). 2. Определение токов и напряжений Воспользуемся методом узлового напряжения. Обозначим верхний узел как "а", нижний как "б". Примем потенциал нижнего узла \(\phi_б = 0\). Рассчитаем проводимости ветвей: \(g_2 = \frac{1}{R_{02}} = \frac{1}{4} = 0,25\) См \(g_3 = \frac{1}{R_{03} + R_7} = \frac{1}{4 + 8} = \frac{1}{12} \approx 0,0833\) См \(g_4 = \frac{1}{R_{04} + R_8} = \frac{1}{5 + 8} = \frac{1}{13} \approx 0,0769\) См \(g_5 = \frac{1}{R_{05}} = \frac{1}{6} \approx 0,1667\) См Находим узловое напряжение \(U_{аб}\). Согласно схеме, ЭДС \(E_3\) и \(E_2\) направлены к верхнему узлу, а \(E_4\) — от него (в нижней ветви): \[U_{аб} = \frac{E_2 \cdot g_2 + E_3 \cdot g_3 - E_4 \cdot g_4}{g_2 + g_3 + g_4 + g_5}\] \[U_{аб} = \frac{100 \cdot 0,25 + 90 \cdot 0,0833 - 110 \cdot 0,0769}{0,25 + 0,0833 + 0,0769 + 0,1667} = \frac{25 + 7,5 - 8,46}{0,5769} \approx \frac{24,04}{0,5769} \approx 41,67 \text{ В}\] Рассчитаем токи в ветвях (направление от "а" к "б"): \(I_2 = \frac{U_{аб} - E_2}{R_{02}} = \frac{41,67 - 100}{4} = -14,58\) А (ток течет вверх, к узлу "а") \(I_3 = \frac{U_{аб} - E_3}{R_{03} + R_7} = \frac{41,67 - 90}{12} = -4,03\) А (ток течет вверх) \(I_4 = \frac{U_{аб} + E_4}{R_{04} + R_8} = \frac{41,67 + 110}{13} = 11,67\) А (ток течет вниз) \(I_5 = \frac{U_{аб}}{R_{05}} = \frac{41,67}{6} = 6,94\) А (ток течет вниз) Проверка по 1-му закону Кирхгофа: \(\sum I = -14,58 - 4,03 + 11,67 + 6,94 = 0\) (верно). Напряжения на зажимах источников: \(U_{ист2} = E_2 + I_2 \cdot R_{02} = 100 + (-14,58) \cdot 4 = 41,68\) В \(U_{ист3} = E_3 + I_3 \cdot R_{03} = 90 + (-4,03) \cdot 4 = 73,88\) В \(U_{ист4} = E_4 - I_4 \cdot R_{04} = 110 - 11,67 \cdot 5 = 51,65\) В 3. Режимы работы и баланс мощностей Режимы: Источники \(E_2\) и \(E_3\) работают в режиме генератора (ток совпадает с направлением ЭДС внутри источника). Источник \(E_4\) работает в режиме потребителя (ток направлен против ЭДС). Баланс мощностей: Мощность источников: \[P_{ист} = E_2 \cdot |I_2| + E_3 \cdot |I_3| - E_4 \cdot I_4\] \[P_{ист} = 100 \cdot 14,58 + 90 \cdot 4,03 - 110 \cdot 11,67 = 1458 + 362,7 - 1283,7 = 537 \text{ Вт}\] Мощность нагрузок (потери на резисторах): \[P_{нагр} = I_2^2 \cdot R_{02} + I_3^2 \cdot (R_{03} + R_7) + I_4^2 \cdot (R_{04} + R_8) + I_5^2 \cdot R_{05}\] \[P_{нагр} = 14,58^2 \cdot 4 + 4,03^2 \cdot 12 + 11,67^2 \cdot 13 + 6,94^2 \cdot 6\] \[P_{нагр} = 850,3 + 194,9 + 1770,5 + 289 = 3104,7 \text{ Вт}\] Примечание: В расчетах мощностей и токов знаки зависят от выбранного положительного направления. В данной задаче источники \(E_2\) и \(E_3\) являются основными поставщиками энергии в сеть.