Решение задачи: Найти точки пересечения y = x^3 + 4x^2 + x - 6 с осями

Задание №344. Найдите координаты точек пересечения графика функции \( y = x^3 + 4x^2 + x - 6 \) с осями координат. Решение: 1. Точка пересечения с осью \( Oy \). В этой точке координата \( x = 0 \). Подставим это значение в уравнение функции: \[ y = 0^3 + 4 \cdot 0^2 + 0 - 6 \] \[ y = -6 \] Таким образом, точка пересечения с осью \( Oy \) имеет координаты \( (0; -6) \). 2. Точки пересечения с осью \( Ox \). В этих точках координата \( y = 0 \). Нам нужно решить уравнение: \[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0 \] Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна \( 1 + 4 + 1 - 6 = 0 \). Это означает, что одним из корней уравнения является \( x_1 = 1 \). Разделим многочлен \( x^3 + 4x^2 + x - 6 \) на двучлен \( (x - 1) \) "уголком" или методом группировки: \[ x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x + 6x - 6 = 0 \] \[ x^2(x - 1) + 5x(x - 1) + 6(x - 1) = 0 \] \[ (x - 1)(x^2 + 5x + 6) = 0 \] Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) по теореме Виета: \[ \begin{cases} x_2 + x_3 = -5 \\ x_2 \cdot x_3 = 6 \end{cases} \] Отсюда получаем корни: \( x_2 = -2 \), \( x_3 = -3 \). Следовательно, точки пересечения с осью \( Ox \) имеют координаты: \( (1; 0) \), \( (-2; 0) \), \( (-3; 0) \). Ответ: \( (0; -6) \), \( (1; 0) \), \( (-2; 0) \), \( (-3; 0) \).